Ecuación de un plano paralelo a dos rectas

Para hallar la ecuación de un plano paralelo a dos rectas, necesitamos que el vector normal del plano sea perpendicular a los vectores directores de dichas rectas. Comenzamos extrayendo el vector director de la recta $r$. La recta viene dada como intersección de dos planos: $r: \begin{cases} 3x + y = 0 \\ 4x + z = 0 \end{cases}$ El vector director $\vec{v}_r$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen la recta: $\vec{n}_{r1} = (3, 1, 0)$ y $\vec{n}_{r2} = (4, 0, 1)$. $$\vec{v}_r = \vec{n}_{r1} \times \vec{n}_{r2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante: $$\vec{v}_r = \vec{i} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - \vec{j} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} + \vec{k} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 0 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v}_r = 1\vec{i} - 3\vec{j} - 4\vec{k} = (1, -3, -4)$$ 💡 **Tip:** Si una recta está en forma implícita (intersección de dos planos), su vector director es perpendicular a los vectores normales de ambos planos.

De igual manera, calculamos el vector director de la recta $s$: $s: \begin{cases} x - y = 2 \\ y - z = -3 \end{cases}$ Los vectores normales de los planos que definen $s$ son $\vec{n}_{s1} = (1, -1, 0)$ y $\vec{n}_{s2} = (0, 1, -1)$. $$\vec{v}_s = \vec{n}_{s1} \times \vec{n}_{s2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante: $$\vec{v}_s = \vec{i} \cdot ((-1) \cdot (-1) - 0 \cdot 1) - \vec{j} \cdot (1 \cdot (-1) - 0 \cdot 0) + \vec{k} \cdot (1 \cdot 1 - (-1) \cdot 0)$$ $$\vec{v}_s = (1 - 0)\vec{i} - (-1 - 0)\vec{j} + (1 - 0)\vec{k} = (1, 1, 1)$$ $$\boxed{\vec{v}_s = (1, 1, 1)}$$

El plano $\pi$ que buscamos es paralelo a $r$ y $s$. Esto significa que sus vectores directores $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$ son paralelos al plano. El vector normal del plano, $\vec{n}_\pi$, será perpendicular a ambos: $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -3 & -4 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{n}_\pi = ((-3) \cdot 1 - (-4) \cdot 1)\vec{i} - (1 \cdot 1 - (-4) \cdot 1)\vec{j} + (1 \cdot 1 - (-3) \cdot 1)\vec{k}$$ $$\vec{n}_\pi = (-3 + 4)\vec{i} - (1 + 4)\vec{j} + (1 + 3)\vec{k}$$ $$\vec{n}_\pi = (1, -5, 4)$$ Este vector $(1, -5, 4)$ nos da los coeficientes $A, B$ y $C$ de la ecuación general del plano $Ax + By + Cz + D = 0$.

Con el vector normal $\vec{n}_\pi = (1, -5, 4)$ y el punto $P(1, 1, 1)$, utilizamos la ecuación del plano: $$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$ Sustituimos los datos: $$1(x - 1) - 5(y - 1) + 4(z - 1) = 0$$ Desarrollamos la expresión: $$x - 1 - 5y + 5 + 4z - 4 = 0$$ $$x - 5y + 4z + (-1 + 5 - 4) = 0$$ $$x - 5y + 4z = 0$$ 💡 **Tip:** También podrías haber escrito $x - 5y + 4z + D = 0$ y sustituido el punto $(1,1,1)$ para hallar $D$, resultando en $1 - 5 + 4 + D = 0 \Rightarrow D = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x - 5y + 4z = 0}$$