Sistema de ecuaciones: Alumnos en titulaciones de la Universidad de Oviedo

**a) Establezca un sistema de ecuaciones con las condiciones del problema, en función del número de alumnos de cada titulación, y obtenga el número de alumnos que hay en cada titulación. (1,5 puntos)** Primero definimos las variables para representar el número de alumnos en cada titulación: - $x$: número de alumnos en la primera titulación. - $y$: número de alumnos en la segunda titulación. - $z$: número de alumnos en la tercera titulación. A partir del enunciado, extraemos las siguientes ecuaciones: 1. El total de alumnos es 352: $$x + y + z = 352$$ 2. En la tercera titulación hay la tercera parte que en la primera: $$z = \frac{1}{3}x \implies x = 3z \implies x - 3z = 0$$ 3. La diferencia entre la primera y la segunda es inferior en 2 al doble de la tercera: $$(x - y) = 2z - 2 \implies x - y - 2z = -2$$ 💡 **Tip:** Al plantear problemas de texto, es fundamental traducir cada frase de forma independiente antes de intentar resolver el sistema. El sistema de ecuaciones lineales es: $$\begin{cases} x + y + z = 352 \\ x - 3z = 0 \\ x - y - 2z = -2 \end{cases}$$

Para resolver el sistema, utilizaremos el método de sustitución, aprovechando que la segunda ecuación nos da $x$ en función de $z$. De la segunda ecuación: $x = 3z$. Sustituimos $x = 3z$ en la primera y tercera ecuación: 1. $(3z) + y + z = 352 \implies y + 4z = 352$ 2. $(3z) - y - 2z = -2 \implies -y + z = -2$ Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ($y$ y $z$): $$\begin{cases} y + 4z = 352 \\ -y + z = -2 \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones directamente (método de reducción): $$(y - y) + (4z + z) = 352 - 2$$ $$5z = 350 \implies z = \frac{350}{5} = 70$$ Con el valor de $z$, calculamos $x$ e $y$: - $x = 3z = 3(70) = 210$ - De $-y + z = -2$, tenemos $y = z + 2 = 70 + 2 = 72$ Comprobamos la suma: $210 + 72 + 70 = 352$. Es correcto. ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{x = 210, \, y = 72, \, z = 70 \text{ alumnos}}$$

**b) Calcule el determinante de la matriz del sistema. (1 punto)** Escribimos la matriz de coeficientes $A$ asociada al sistema planteado en el apartado anterior: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -3 \\ 1 & -1 & -2 \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante $|A|$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -3 \\ 1 & -1 & -2 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (1 \cdot 0 \cdot (-2)) + (1 \cdot (-3) \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot (-1)) - [ (1 \cdot 0 \cdot 1) + (1 \cdot (-3) \cdot (-1)) + (1 \cdot (-2) \cdot 1) ]$$ Calculamos los productos: $$|A| = (0 - 3 - 1) - (0 + 3 - 2)$$ $$|A| = (-4) - (1) = -5$$ 💡 **Tip:** La regla de Sarrus para un determinante de orden 3 consiste en sumar los productos de la diagonal principal y sus paralelas, y restar los productos de la diagonal secundaria y sus paralelas. ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{|A| = -5}$$