Cálculo de una integral definida

Para resolver la integral definida $\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\text{sen}(2x) + x \text{sen} x) dx$, aplicamos la propiedad de linealidad de la integral, que nos permite separarla en la suma de dos integrales más sencillas: $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\text{sen}(2x) + x \text{sen} x) dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \text{sen}(2x) dx + \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \text{sen} x dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la integral de una suma es la suma de las integrales: $\int (f(x) + g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$.

Calculamos primero la integral indefinida del término $\text{sen}(2x)$. Se trata de una integral casi inmediata de tipo trigonométrico: $$\int \text{sen}(2x) dx = -\frac{1}{2} \cos(2x)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \text{sen}(f(x)) \cdot f'(x) dx = -\cos(f(x))$. En este caso, como la derivada del argumento es $2$, multiplicamos y dividimos por $2$ para ajustar la constante. $$\boxed{\int \text{sen}(2x) dx = -\frac{1}{2} \cos(2x)}$$

Para la integral $\int x \text{sen} x dx$, aplicamos el método de **integración por partes**. Elegimos las partes según la regla ALPES: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = \text{sen} x dx \implies v = -\cos x$ Aplicamos la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$\int x \text{sen} x dx = x(-\cos x) - \int (-\cos x) dx$$ $$\int x \text{sen} x dx = -x \cos x + \int \cos x dx$$ $$\int x \text{sen} x dx = -x \cos x + \text{sen} x$$ 💡 **Tip:** Al integrar por partes, elige como $u$ el polinomio para que al derivar se simplifique la expresión. $$\boxed{\int x \text{sen} x dx = -x \cos x + \text{sen} x}$$

Combinamos los resultados de los pasos anteriores para obtener la primitiva de la función original, a la que llamaremos $F(x)$: $$F(x) = -\frac{1}{2} \cos(2x) - x \cos x + \text{sen} x$$ Ahora solo queda aplicar la Regla de Barrow en el intervalo $[0, \frac{\pi}{2}]$.

Calculamos los valores de la primitiva en los límites de integración: **1. En el límite superior $x = \frac{\pi}{2}$:** $$F\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{1}{2} \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) - \frac{\pi}{2} \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)$$ Como $\cos(\pi) = -1$, $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ y $\text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$: $$F\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{1}{2}(-1) - \frac{\pi}{2}(0) + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$$ **2. En el límite inferior $x = 0$:** $$F(0) = -\frac{1}{2} \cos(0) - 0 \cdot \cos(0) + \text{sen}(0)$$ Como $\cos(0) = 1$ y $\text{sen}(0) = 0$: $$F(0) = -\frac{1}{2}(1) - 0 + 0 = -\frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** La regla de Barrow establece que $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$.

Finalmente, restamos ambos valores: $$I = F\left(\frac{\pi}{2}\right) - F(0) = \frac{3}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{2}$$ A continuación se muestra la representación gráfica del área calculada bajo la curva en el intervalo indicado.