Cálculo de límites mediante la regla de L'Hôpital

**a) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2} - 1}{1 - \cos x}$. (1,25 puntos)** En primer lugar, evaluamos el límite sustituyendo $x = 0$ en la expresión: $$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2} - 1}{1 - \cos x} = \frac{\sqrt{1+0^2} - 1}{1 - \cos 0} = \frac{1-1}{1-1} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Como obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$, podemos aplicar la **regla de L'Hôpital**, que consiste en derivar el numerador y el denominador por separado. 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital nos permite resolver límites de la forma $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ mediante la derivada: $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$.

Derivamos el numerador y el denominador: - Numerador: $f(x) = \sqrt{1+x^2} - 1 \implies f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ - Denominador: $g(x) = 1 - \cos x \implies g'(x) = \sin x$ El límite se convierte en: $$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x \cdot \sqrt{1+x^2}}$$ Si volvemos a evaluar en $x = 0$, obtenemos de nuevo $\frac{0}{0 \cdot 1} = \left[ \frac{0}{0} \right]$. Aplicamos la regla de L'Hôpital por segunda vez.

Para simplificar, podemos separar el límite en un producto de dos límites: $$\lim_{x \to 0} \left( \frac{x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \right) = \left( \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} \right) \cdot \left( \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \right)$$ Calculamos el primer factor aplicando L'Hôpital: $$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = \left[ \frac{0}{0} \right] = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{1} = 1$$ Calculamos el segundo factor por sustitución directa: $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+0}} = 1$$ Multiplicando ambos resultados: $$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2} - 1}{1 - \cos x} = 1 \cdot 1 = 1$$ ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{1}$$

**b) $\lim_{x \to 0} (1 - \cos x) \text{cotg } x$. (1,25 puntos)** Sustituimos $x = 0$ teniendo en cuenta que la cotangente de 0 tiende a infinito: $$\lim_{x \to 0} (1 - \cos 0) \cdot \text{cotg } 0 = (1 - 1) \cdot \infty = [0 \cdot \infty]$$ Para aplicar la regla de L'Hôpital, debemos transformar esta indeterminación en una del tipo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Utilizaremos la definición de la cotangente. 💡 **Tip:** Recuerda la identidad trigonométrica $\text{cotg } x = \frac{\cos x}{\sin x}$.

Reescribimos la función como un cociente: $$\lim_{x \to 0} (1 - \cos x) \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos x) \cos x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - \cos^2 x}{\sin x}$$ Al evaluar en $x = 0$ obtenemos $\frac{1 - 1}{0} = \left[ \frac{0}{0} \right]$. Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador: - Derivada del numerador: $(\cos x - \cos^2 x)' = -\sin x - 2\cos x (-\sin x) = -\sin x + 2\sin x \cos x$ - Derivada del denominador: $(\sin x)' = \cos x$ El límite resulta: $$\lim_{x \to 0} \frac{-\sin x + 2\sin x \cos x}{\cos x}$$ Sustituimos $x = 0$: $$\frac{-\sin 0 + 2\sin 0 \cos 0}{\cos 0} = \frac{0 + 2 \cdot 0 \cdot 1}{1} = \frac{0}{1} = 0$$ ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{0}$$

Podemos observar el comportamiento de ambas funciones cerca de $x=0$. La función del apartado a) tiende a 1, mientras que la del apartado b) tiende a 0.