Vértices y área de un triángulo a partir de sus puntos medios

**a) Obtenga las coordenadas de los vértices $A, B$ y $C$ del triángulo. (1 punto)** Sean $A, B$ y $C$ los vértices del triángulo. Sabemos que el punto medio de un segmento se calcula como la semisuma de las coordenadas de sus extremos. Supongamos que: - $M$ es el punto medio del lado $AB$. - $N$ es el punto medio del lado $BC$. - $P$ es el punto medio del lado $AC$. Esto nos permite establecer el siguiente sistema de ecuaciones vectoriales: 1. $\dfrac{A+B}{2} = M \implies A+B = 2M = (2, 0, 0)$ 2. $\dfrac{B+C}{2} = N \implies B+C = 2N = (0, 2, 0)$ 3. $\dfrac{A+C}{2} = P \implies A+C = 2P = (0, 0, 2)$ 💡 **Tip:** Recuerda que si $M$ es el punto medio de $PQ$, entonces $M = \frac{1}{2}(P+Q)$.

Para resolver el sistema, sumamos las tres ecuaciones: $$(A+B) + (B+C) + (A+C) = (2,0,0) + (0,2,0) + (0,0,2)$$ $$2(A+B+C) = (2, 2, 2) \implies A+B+C = (1, 1, 1)$$ Ahora, restamos cada una de las ecuaciones originales a esta suma total para obtener cada vértice: - Para $C$: $(A+B+C) - (A+B) = (1, 1, 1) - (2, 0, 0) = (-1, 1, 1)$ - Para $A$: $(A+B+C) - (B+C) = (1, 1, 1) - (0, 2, 0) = (1, -1, 1)$ - Para $B$: $(A+B+C) - (A+C) = (1, 1, 1) - (0, 0, 2) = (1, 1, -1)$ ✅ **Resultado (Vértices):** $$\boxed{A(1, -1, 1), \quad B(1, 1, -1), \quad C(-1, 1, 1)}$$

**b) Halle el área del triángulo. (1,5 puntos)** Para calcular el área del triángulo $ABC$, utilizaremos la fórmula basada en el producto vectorial de dos de sus vectores concurrentes, por ejemplo, $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$. Calculamos los vectores: $$\vec{AB} = B - A = (1-1, 1-(-1), -1-1) = (0, 2, -2)$$ $$\vec{AC} = C - A = (-1-1, 1-(-1), 1-1) = (-2, 2, 0)$$ 💡 **Tip:** El área de un triángulo de vértices $A, B$ y $C$ es $Area = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$.

Calculamos el producto vectorial $\vec{w} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ mediante el determinante: $$\vec{w} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 2 & -2 \\ -2 & 2 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{w} = \vec{i} \cdot [2 \cdot 0 - (-2) \cdot 2] - \vec{j} \cdot [0 \cdot 0 - (-2) \cdot (-2)] + \vec{k} \cdot [0 \cdot 2 - 2 \cdot (-2)]$$ $$\vec{w} = \vec{i}(0 + 4) - \vec{j}(0 - 4) + \vec{k}(0 + 4)$$ $$\vec{w} = 4\vec{i} + 4\vec{j} + 4\vec{k} = (4, 4, 4)$$ $$\boxed{\vec{AB} \times \vec{AC} = (4, 4, 4)}$$

El área es la mitad del módulo del vector resultante: $$|\vec{w}| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16 + 16} = \sqrt{48}$$ Simplificamos el radical: $$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$$ Calculamos el área: $$Area = \frac{1}{2} |\vec{w}| = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** No olvides indicar siempre las unidades de medida al cuadrado ($u^2$) en el cálculo de áreas. ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{Area = 2\sqrt{3} \approx 3,46 \text{ u}^2}$$