Estudio de matriz y sistema homogéneo con parámetros

**a) Obtenga los valores de $a$ para los que $\text{det}(A) = 0$. (1 punto)** Para hallar los valores de $a$ que anulan el determinante, calculamos $\text{det}(A)$. Dada la estructura de la matriz, lo más sencillo es desarrollar por los elementos de la tercera columna, ya que contiene dos ceros: $$\text{det}(A) = \begin{vmatrix} -a & 2 & 0 \\ 1 & -1-a & 0 \\ 0 & 0 & 1-a \end{vmatrix} = (1-a) \cdot \begin{vmatrix} -a & 2 \\ 1 & -1-a \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante de orden 2 resultante: $$\text{det}(A) = (1-a) [(-a)(-1-a) - (2)(1)] = (1-a) [a + a^2 - 2]$$ $$\text{det}(A) = (1-a)(a^2 + a - 2)$$ Igualamos a cero para encontrar las raíces: 1) $1 - a = 0 \implies a = 1$ 2) $a^2 + a - 2 = 0$. Aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Esto nos da las soluciones $a = 1$ y $a = -2$. 💡 **Tip:** Cuando una fila o columna tiene muchos ceros, desarrollar por ella (método de los adjuntos) simplifica enormemente los cálculos frente a la regla de Sarrus directa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 1, \quad a = -2}$$ *Nota: El valor $a=1$ es una raíz doble del determinante.*

**b) Discuta el sistema homogéneo de matriz $A$ según los valores del número real $a$. (0,75 puntos)** Un sistema homogéneo $A\mathbf{X} = \mathbf{0}$ es siempre compatible (admite al menos la solución trivial $x=y=z=0$). Aplicamos el **Teorema de Rouché-Frobenius** basándonos en el determinante calculado anteriormente: - **Caso 1: $a \neq 1$ y $a \neq -2$** Si $a$ no es $1$ ni $-2$, entonces $\text{det}(A) \neq 0$. Por tanto, el rango de la matriz es máximo: $\text{rg}(A) = 3$. Como el rango coincide con el número de incógnitas, el sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)**. La única solución es la trivial: $(0, 0, 0)$. - **Caso 2: $a = 1$ o $a = -2$** Si $a$ toma alguno de estos valores, $\text{det}(A) = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. En este caso, el sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**. Existen infinitas soluciones además de la trivial. 💡 **Tip:** En los sistemas homogéneos no es necesario estudiar la matriz ampliada $A^*$, ya que la columna de términos independientes es nula y no altera el rango: $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*)$ siempre. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a \neq 1, -2: \text{S. Compatible Determinado} \\ \text{Si } a = 1 \text{ o } a = -2: \text{S. Compatible Indeterminado} \end{cases}}$$

**c) Resuélvalo, si es posible, en el caso $a = 1$. (0,75 puntos)** Sustituimos $a = 1$ en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ El sistema de ecuaciones asociado es: $$\begin{cases} -x + 2y = 0 \\ x - 2y = 0 \\ 0z = 0 \end{cases}$$ Observamos que la segunda ecuación es proporcional a la primera (fila 2 = - fila 1) y la tercera es $0=0$. Por tanto, solo tenemos una ecuación independiente con tres incógnitas. El rango de la matriz es 1. Necesitamos $3 - 1 = 2$ parámetros para expresar la solución: 1. De la primera ecuación: $x = 2y$. 2. Tomamos $y$ como parámetro: $y = \lambda$. 3. La variable $z$ no aparece en la ecuación relevante, por lo que es libre: $z = \mu$. Donde $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$. 💡 **Tip:** El número de parámetros necesarios para resolver un SCI es igual al número de incógnitas menos el rango de la matriz ($n - r$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} x = 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = \mu \end{cases} \quad \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}}$$