Área de recinto limitado por función a trozos y recta

**a) Dibuje el recinto acotado comprendido entre la gráfica de $f(x)$ y la recta $y = 1$. (1,25 puntos)** Para dibujar el recinto, primero analizamos la función $f(x)$ y encontramos los puntos donde corta a la recta $y = 1$. 1. **Continuidad en $x=1$:** * $f(1) = (1-1)^2 = 0$. * Límite por la izquierda: $\lim_{x \to 1^-} (x-1)^2 = 0$. * Límite por la derecha: $\lim_{x \to 1^+} \ln(x) = \ln(1) = 0$. Al coincidir los valores, no hay salto entre ramas; la función es continua. 2. **Cortes con $y=1$:** * En la primera rama ($x \leq 1$): $(x-1)^2 = 1 \implies x-1 = \pm 1$. Si $x-1 = 1 \implies x=2$ (fuera de intervalo). Si $x-1 = -1 \implies x=0$. Punto de corte: **$(0, 1)$**. * En la segunda rama ($x > 1$): $\ln(x) = 1 \implies x = e^1 = e$. Como $e \approx 2,718 > 1$, es válido. Punto de corte: **$(e, 1)$**. 💡 **Tip:** El punto $(1,0)$ es un mínimo relativo de la función (vértice de la parábola y origen del logaritmo), por lo que la función estará por debajo de la recta $y=1$ en el intervalo $(0, e)$.

Representamos la parábola $(x-1)^2$ hasta $x=1$, la curva logarítmica $\ln(x)$ desde $x=1$ y la recta horizontal $y=1$. El recinto queda encerrado entre los valores de $x$ de $0$ a $e$. Para el dibujo, observamos que: - La parábola tiene su vértice en $(1,0)$. - El logaritmo pasa por $(1,0)$ y crece lentamente hasta $(e, 1)$. $$\boxed{\text{Puntos clave: } (0, 1), (1, 0) \text{ y } (e, 1)}$$

**b) Calcule el área del recinto anterior. (1,25 puntos)** El área del recinto se calcula mediante la integral definida de la función "techo" menos la función "suelo". En este caso, el techo es la recta $y=1$ y el suelo es la función $f(x)$. Como $f(x)$ cambia de definición en $x=1$, dividimos el área en dos partes: $$A = A_1 + A_2 = \int_{0}^{1} [1 - (x-1)^2] \, dx + \int_{1}^{e} [1 - \ln(x)] \, dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para calcular el área entre dos curvas $g(x)$ y $h(x)$ en $[a,b]$, usamos $\int_a^b |g(x) - h(x)| \, dx$.

Calculamos $A_1$ integrando el polinomio: $$A_1 = \int_{0}^{1} (1 - (x^2 - 2x + 1)) \, dx = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x) \, dx$$ Aplicamos la regla de Barrow: $$A_1 = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 \right]_0^1 = \left( -\frac{1^3}{3} + 1^2 \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + 0^2 \right) = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3} \text{ u}^2$$ $$\boxed{A_1 = \dfrac{2}{3} \text{ u}^2}$$

Calculamos $A_2$ integrando la función logarítmica: $$A_2 = \int_{1}^{e} (1 - \ln(x)) \, dx = \int_{1}^{e} 1 \, dx - \int_{1}^{e} \ln(x) \, dx$$ Para $\int \ln(x) \, dx$, usamos integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Sea $u = \ln(x) \implies du = \frac{1}{x} dx$. Sea $dv = dx \implies v = x$. $$\int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln(x) - x$$ Ahora aplicamos Barrow a la expresión total de $A_2$: $$A_2 = \left[ x - (x \ln(x) - x) \right]_1^e = [2x - x \ln(x)]_1^e$$ $$A_2 = (2e - e \ln(e)) - (2(1) - 1 \ln(1)) = (2e - e) - (2 - 0) = e - 2 \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\ln(e) = 1$ y $\ln(1) = 0$. $$\boxed{A_2 = e - 2 \text{ u}^2}$$

Sumamos las dos áreas parciales para obtener el área total del recinto: $$A = A_1 + A_2 = \frac{2}{3} + e - 2 = e - \frac{4}{3} \text{ u}^2$$ Si aproximamos el valor: $$A \approx 2,718 - 1,333 = 1,385 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = e - \frac{4}{3} \text{ u}^2}$$