Estudio completo de una función racional: asíntotas y extremos

**a) Calcule la ecuación de sus asíntotas, si existen. (1 punto)** Primero, determinamos el dominio de la función $f(x) = \frac{2x^3}{x^2 - 1}$. Como es una función racional, el dominio son todos los reales excepto los que anulan el denominador: $$x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1$$ El dominio es $D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$. Las asíntotas verticales (AV) suelen estar en los puntos donde el denominador es cero. Calculamos los límites laterales en $x = -1$: $$\lim_{x \to -1^-} \frac{2x^3}{x^2 - 1} = \frac{-2}{0^+} = -\infty; \quad \lim_{x \to -1^+} \frac{2x^3}{x^2 - 1} = \frac{-2}{0^-} = +\infty$$ Calculamos los límites laterales en $x = 1$: $$\lim_{x \to 1^-} \frac{2x^3}{x^2 - 1} = \frac{2}{0^-} = -\infty; \quad \lim_{x \to 1^+} \frac{2x^3}{x^2 - 1} = \frac{2}{0^+} = +\infty$$ 💡 **Tip:** Si al calcular el límite en un punto $a$ el resultado es $\pm\infty$, entonces $x=a$ es una asíntota vertical. ✅ **Resultado (Asíntotas Verticales):** $$\boxed{x = -1, \quad x = 1}$$

Estudiamos el comportamiento en el infinito para las asíntotas horizontales (AH): $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^3}{x^2 - 1} = \pm\infty$$ Como el límite es infinito, **no existen asíntotas horizontales**. Buscamos una asíntota oblicua (AO) de la forma $y = mx + n$: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3}{x(x^2 - 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3}{x^3 - x} = 2$$ $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{2x^3}{x^2 - 1} - 2x \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - 2x(x^2 - 1)}{x^2 - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - 2x^3 + 2x}{x^2 - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{x^2 - 1} = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el grado del numerador es exactamente una unidad mayor que el del denominador, existe una asíntota oblicua. ✅ **Resultado (Asíntota Oblicua):** $$\boxed{y = 2x}$$

**b) Estudie sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento, así como las abscisas de sus extremos relativos, si los tiene, y clasifíquelos. (1,5 puntos)** Para estudiar la monotonía, calculamos $f'(x)$ usando la regla del cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$u = 2x^3 \implies u' = 6x^2$$ $$v = x^2 - 1 \implies v' = 2x$$ $$f'(x) = \frac{6x^2(x^2 - 1) - (2x^3)(2x)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{6x^4 - 6x^2 - 4x^4}{(x^2 - 1)^2} = \frac{2x^4 - 6x^2}{(x^2 - 1)^2}$$ Simplificamos factorizando: $$f'(x) = \frac{2x^2(x^2 - 3)}{(x^2 - 1)^2}$$ 💡 **Tip:** Factorizar la derivada facilita mucho el estudio del signo en los intervalos de monotonía. $$\boxed{f'(x) = \frac{2x^2(x^2 - 3)}{(x^2 - 1)^2}}$$

Buscamos los puntos críticos igualando $f'(x) = 0$: $$2x^2(x^2 - 3) = 0 \implies x^2 = 0 \text{ o } x^2 = 3$$ Esto nos da los puntos: $x = 0$, $x = \sqrt{3}$ y $x = -\sqrt{3}$. Analizamos el signo de $f'(x)$ considerando estos puntos y los puntos de discontinuidad ($x = \pm 1$). Nótese que el denominador $(x^2-1)^2$ y el factor $2x^2$ siempre son positivos (o cero en $x=0$), por lo que el signo depende únicamente de $(x^2 - 3)$. $$ \begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -\sqrt{3}) & -\sqrt{3} & (-\sqrt{3}, -1) & -1 & (-1, 1) & 1 & (1, \sqrt{3}) & \sqrt{3} & (\sqrt{3}, +\infty) \\\hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & - & \nexists & - & 0 & + \\\hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \nexists & \searrow & \nexists & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array} $$ Intervalos de **crecimiento**: $(-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty)$ Intervalos de **decrecimiento**: $(-\sqrt{3}, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, \sqrt{3})$ 💡 **Tip:** En $x=0$ hay un punto crítico pero no un extremo, ya que la función decrece antes y después de él (punto de inflexión de tangente horizontal). ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente: } (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty), \quad \text{Decreciente: } (-\sqrt{3}, 1) \setminus \{-1, 1\} \cup (1, \sqrt{3})}$$

Basándonos en el cambio de signo de la derivada observado en la tabla anterior: 1. En $x = -\sqrt{3}$: la función pasa de crecer a decrecer. Hay un **máximo relativo**. 2. En $x = \sqrt{3}$: la función pasa de decrecer a crecer. Hay un **mínimo relativo**. 3. En $x = 0$: $f'(x)=0$ pero no cambia el signo (decrece a ambos lados), por lo que no es un extremo relativo. El enunciado pide las abscisas y su clasificación: ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } x = -\sqrt{3}, \quad \text{Mínimo relativo en } x = \sqrt{3}}$$