Transformaciones en el espacio, planos y distancias

**a) Busque el conjunto de puntos que se mueven al origen de coordenadas. (1 punto)** Sea $P(a, b, c)$ un punto cualquiera del espacio. El enunciado nos dice que su imagen es el punto $(a+b, a+b+c, a+b)$. Queremos encontrar los puntos cuya imagen es el origen $(0, 0, 0)$. Para ello, igualamos componente a componente: $$\begin{cases} a+b = 0 \\ a+b+c = 0 \\ a+b = 0 \end{cases}$$ Observamos que la primera y la tercera ecuación son idénticas. Resolvemos el sistema dependiente: 1. De la primera ecuación: $b = -a$. 2. Sustituimos en la segunda: $(a) + (-a) + c = 0 \implies c = 0$. Si llamamos al parámetro $a = \lambda$, el conjunto de puntos es una recta que pasa por el origen: $$\begin{cases} a = \lambda \\ b = -\lambda \\ c = 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Un sistema con 3 incógnitas y 2 ecuaciones independientes define una recta en el espacio. ✅ **Resultado:** $$\boxed{r \equiv (\lambda, -\lambda, 0) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$

**b) Dé una ecuación cartesiana del plano $\pi$ que determinan los puntos del apartado a) y el punto $(1,1,1)$. (1 punto)** El plano $\pi$ contiene a la recta calculada en el apartado anterior y al punto $Q(1, 1, 1)$. Para definir el plano necesitamos un punto y dos vectores directores (o el vector normal): - Un punto del plano: Podemos usar el origen $O(0, 0, 0)$, ya que pertenece a la recta (haciendo $\lambda = 0$). - Primer vector director $\vec{u}$: El vector director de la recta $r$, que es $\vec{u} = (1, -1, 0)$. - Segundo vector director $\vec{v}$: El vector que une el origen con el punto $Q$, es decir, $\vec{v} = \vec{OQ} = (1, 1, 1)$. Comprobamos que $\vec{u}$ y $\vec{v}$ no son proporcionales, por lo que determinan un plano. 💡 **Tip:** Para que tres puntos (o una recta y un punto) definan un plano, el punto no debe pertenecer a la recta.

El vector normal $\vec{n}$ al plano se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores directores: $$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{n} = [(-1) \cdot 1] \vec{i} + [0 \cdot 1] \vec{j} + [1 \cdot 1] \vec{k} - [(-1) \cdot 1] \vec{k} - [0 \cdot 1] \vec{i} - [1 \cdot 1] \vec{j}$$ $$\vec{n} = -1\vec{i} - 1\vec{j} + (1+1)\vec{k} = (-1, -1, 2)$$ La ecuación general del plano es de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$. Usamos el vector normal $(-1, -1, 2)$: $$-x - y + 2z + D = 0$$ Como el plano pasa por el origen $(0,0,0)$, sustituimos para hallar $D$: $$-0 - 0 + 2(0) + D = 0 \implies D = 0$$ Multiplicando por $-1$ para simplificar: $$x + y - 2z = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi \equiv x + y - 2z = 0}$$

**c) Busque la distancia del origen de coordenadas al plano $\pi$. (0,5 puntos)** Sabemos que el plano $\pi$ contiene a la recta $r$ hallada en el apartado a). La recta $r$ está definida por $(\lambda, -\lambda, 0)$, y si tomamos $\lambda = 0$, vemos que el punto $(0, 0, 0)$ pertenece a la recta y, por extensión, al plano $\pi$. Si un punto pertenece a un plano, la distancia entre ambos es nula. Podemos verificarlo con la fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax+By+Cz+D=0$: $$d(O, \pi) = \frac{|A \cdot 0 + B \cdot 0 + C \cdot 0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 0|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2}} = \frac{0}{\sqrt{6}} = 0$$ 💡 **Tip:** Siempre que el término independiente $D$ de la ecuación general de un plano sea cero, el plano pasa por el origen. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(O, \pi) = 0}$$