Polinomio característico y sistemas de ecuaciones con parámetros

**a) Escriba factorizado el polinomio $p(x) = \text{det}(A - xI_3)$ donde $I_3$ es la matriz identidad de orden 3. (1 punto)** En primer lugar, planteamos la matriz $A - xI_3$ restando la variable $x$ a los elementos de la diagonal principal de $A$: $$ A - xI_3 = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x & 2 & 0 \\ 1 & -1-x & 0 \\ 0 & 0 & 1-x \end{pmatrix} $$ 💡 **Tip:** Recuerda que $I_3$ es la matriz con unos en la diagonal y ceros en el resto. Al calcular $A - xI$, solo se ven afectados los términos de la diagonal de $A$.

Calculamos el determinante de la matriz resultante. Para facilitar el cálculo, observamos que la tercera fila (o la tercera columna) tiene dos ceros, por lo que desarrollaremos por los elementos de la tercera fila: $$ p(x) = \begin{vmatrix} -x & 2 & 0 \\ 1 & -1-x & 0 \\ 0 & 0 & 1-x \end{vmatrix} = (1-x) \cdot \begin{vmatrix} -x & 2 \\ 1 & -1-x \end{vmatrix} $$ Calculamos el determinante de orden 2: $$ \begin{vmatrix} -x & 2 \\ 1 & -1-x \end{vmatrix} = (-x)(-1-x) - (1)(2) = x + x^2 - 2 = x^2 + x - 2 $$ Por tanto, el polinomio es: $$ p(x) = (1-x)(x^2 + x - 2) $$

Para factorizar completamente $p(x)$, buscamos las raíces del polinomio de segundo grado $x^2 + x - 2 = 0$ usando la fórmula general: $$ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} $$ Obtenemos dos soluciones: - $x_1 = \frac{2}{2} = 1$ - $x_2 = \frac{-4}{2} = -2$ Así, $x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2)$. Sustituyendo en $p(x)$: $$ p(x) = (1-x)(x-1)(x+2) $$ Como $(1-x) = -(x-1)$, podemos escribir el resultado de forma más compacta: ✅ **Resultado (polinomio factorizado):** $$\boxed{p(x) = -(x-1)^2(x+2)}$$

**b) Busque las raíces de $p(x)$. (0,5 puntos)** Las raíces de $p(x)$ son los valores de $x$ que hacen que $p(x) = 0$. Utilizando la forma factorizada obtenida en el apartado anterior: $$ -(x-1)^2(x+2) = 0 $$ Esto ocurre si: - $(x-1)^2 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies \mathbf{x = 1}$ (raíz doble) - $(x+2) = 0 \implies \mathbf{x = -2}$ (raíz simple) ✅ **Resultado (raíces):** $$\boxed{x = 1, \quad x = -2}$$

**c) Resuelva el sistema homogéneo con matriz $A - xI_3$ cuando sea compatible indeterminado. (1 punto)** Un sistema homogéneo $(A - xI_3)X = 0$ siempre es compatible. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, para que sea **compatible indeterminado** (infinitas soluciones), el determinante de la matriz de coeficientes debe ser cero: $$ \text{det}(A - xI_3) = 0 $$ Esto sucede precisamente en los valores de $x$ que son las raíces calculadas en el apartado b): **$x = 1$** y **$x = -2$**. 💡 **Tip:** En un sistema homogéneo, si el determinante es distinto de cero, solo existe la solución trivial $(0,0,0)$ (Sistema Compatible Determinado). Si el determinante es cero, hay infinitas soluciones.

Para $x = 1$, la matriz del sistema es: $$ A - 1I_3 = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ El sistema de ecuaciones es: $$ \begin{cases} -x + 2y = 0 \\ x - 2y = 0 \\ 0z = 0 \end{cases} $$ Las dos primeras ecuaciones son proporcionales ($E_1 = -E_2$), por lo que nos queda una sola ecuación relevante: $-x + 2y = 0 \implies x = 2y$. La variable $z$ no aparece, lo que significa que puede tomar cualquier valor. Tomamos como parámetros $y = \lambda$ y $z = \mu$: - $x = 2\lambda$ - $y = \lambda$ - $z = \mu$ ✅ **Resultado para $x=1$:** $$\boxed{(x, y, z) = (2\lambda, \lambda, \mu) \quad \forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}}$$

Para $x = -2$, la matriz del sistema es: $$ A - (-2)I_3 = A + 2I_3 = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} $$ El sistema de ecuaciones es: $$ \begin{cases} 2x + 2y = 0 \\ x + y = 0 \\ 3z = 0 \end{cases} $$ De la tercera ecuación: $3z = 0 \implies z = 0$. De las dos primeras (que son proporcionales): $x + y = 0 \implies x = -y$. Tomamos como parámetro $y = \lambda$: - $x = -\lambda$ - $y = \lambda$ - $z = 0$ ✅ **Resultado para $x=-2$:** $$\boxed{(x, y, z) = (-\lambda, \lambda, 0) \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$