Cálculo de límites mediante la regla de L'Hôpital

**a) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \text{sen} x}$. (1,25 puntos)** En primer lugar, evaluamos el límite sustituyendo $x = 0$ en la expresión: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \text{sen} x} = \frac{e^0 - e^0 - 2(0)}{0 - \text{sen}(0)} = \frac{1 - 1 - 0}{0 - 0} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$, por lo que aplicaremos la **regla de L'Hôpital**, que consiste en derivar el numerador y el denominador por separado. 💡 **Tip:** Recuerda que la regla de L'Hôpital establece que $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ siempre que el límite sea de la forma $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$.

Derivamos el numerador y el denominador: - Numerador: $(e^x - e^{-x} - 2x)' = e^x - e^{-x}(-1) - 2 = e^x + e^{-x} - 2$ - Denominador: $(x - \text{sen} x)' = 1 - \cos x$ El límite queda: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \text{sen} x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos x}$$ Evaluamos de nuevo en $x = 0$: $$\frac{e^0 + e^0 - 2}{1 - \cos(0)} = \frac{1 + 1 - 2}{1 - 1} = \frac{0}{0}$$ Como persiste la indeterminación $\frac{0}{0}$, aplicamos la regla de L'Hôpital por segunda vez.

Derivamos nuevamente: - Numerador: $(e^x + e^{-x} - 2)' = e^x - e^{-x}$ - Denominador: $(1 - \cos x)' = \text{sen} x$ El límite es: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\text{sen} x}$$ Evaluamos: $\frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}$. Aplicamos L'Hôpital por tercera vez: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\text{sen} x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{\cos x}$$ Evaluamos el límite final: $$\frac{e^0 + e^0}{\cos(0)} = \frac{1 + 1}{1} = 2$$ ✅ **Resultado final (a):** $$\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \text{sen} x} = 2}$$

**b) $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x}) \text{sen} (\frac{x}{2})$. (1,25 puntos)** Podemos reescribir la expresión para identificar claramente la función sobre la que calculamos el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{\text{sen}(x/2)}{x}$$ Al evaluar en $x = 0$: $$\frac{\text{sen}(0)}{0} = \frac{0}{0}$$ Se trata de una indeterminación $\frac{0}{0}$. Resolveremos aplicando la regla de L'Hôpital, derivando numerador y denominador. 💡 **Tip:** Ten cuidado al derivar funciones compuestas como $\text{sen}(x/2)$; debes aplicar la regla de la cadena: $(\text{sen}(u))' = u' \cdot \cos(u)$.

Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando respecto a $x$: - Derivada del numerador: $\left(\text{sen}\left(\frac{x}{2}\right)\right)' = \frac{1}{2} \cos\left(\frac{x}{2}\right)$ - Derivada del denominador: $(x)' = 1$ Sustituimos en el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{\text{sen}(x/2)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} \cos(x/2)}{1}$$ Ahora evaluamos en $x = 0$: $$\frac{1}{2} \cos(0) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado final (b):** $$\boxed{\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x}\right) \text{sen}\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{2}}$$