Cálculo de parámetros en una función cúbica

El enunciado indica que las rectas tangentes en $x=2$ y $x=4$ son paralelas al eje OX. Esto significa que la pendiente de la recta tangente en esos puntos es cero. Como la pendiente de la recta tangente viene dada por la derivada de la función, tenemos las siguientes condiciones: 1. $f'(2) = 0$ 2. $f'(4) = 0$ Primero, calculamos la derivada de $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$: $$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta es paralela al eje OX, su pendiente es $m=0$. En términos de funciones, esto implica que la derivada en ese punto es nula ($f'(x_0)=0$).

Aplicamos las condiciones $f'(2)=0$ y $f'(4)=0$ a la expresión de la derivada: Para $x=2$: $$f'(2) = 3(2)^2 + 2a(2) + b = 12 + 4a + b = 0 \implies 4a + b = -12$$ Para $x=4$: $$f'(4) = 3(4)^2 + 2a(4) + b = 48 + 8a + b = 0 \implies 8a + b = -48$$ Resolvemos el sistema de ecuaciones por el método de resta (reducción): $$(8a + b) - (4a + b) = -48 - (-12)$$ $$4a = -36 \implies a = -9$$ Sustituimos $a = -9$ en la primera ecuación: $$4(-9) + b = -12 \implies -36 + b = -12 \implies b = 24$$ $$\boxed{a = -9, \quad b = 24}$$

El punto de inflexión es aquel donde la curvatura cambia, lo que requiere que la segunda derivada sea cero ($f''(x)=0$) y que exista un cambio de signo. Calculamos la segunda derivada a partir de $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$: $$f''(x) = 6x + 2a$$ Sustituimos el valor de $a = -9$: $$f''(x) = 6x + 2(-9) = 6x - 18$$ Igualamos a cero para encontrar la abscisa $x_I$ del punto de inflexión: $$6x - 18 = 0 \implies 6x = 18 \implies x_I = 3$$ 💡 **Tip:** El punto de inflexión de una función cúbica siempre se encuentra exactamente en el punto medio de sus extremos relativos (si los tiene).

Se nos dice que el punto de inflexión está en el eje OX. Esto significa que su ordenada es $y=0$, es decir, $f(x_I) = 0$. Sustituimos $x = 3$ y los valores de $a$ y $b$ en la función original $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$: $$f(3) = (3)^3 + (-9)(3)^2 + (24)(3) + c = 0$$ $$27 - 81 + 72 + c = 0$$ $$18 + c = 0 \implies c = -18$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = -9, \quad b = 24, \quad c = -18}$$

Para confirmar que $x=3$ es un punto de inflexión, analizamos el signo de $f''(x) = 6x - 18$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,3) & 3 & (3,+\infty)\\\hline f''(x) & - & 0 & + \end{array}$$ Como hay un cambio de signo de negativo (cóncava hacia abajo) a positivo (cóncava hacia arriba), se confirma que en $x=3$ hay un punto de inflexión. A continuación se muestra la representación gráfica de la función obtenida $f(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 18$: