Geometría en el espacio: Rectas, posición relativa y distancias

**a) Escriba unas ecuaciones cartesianas de la recta $s$. (0,75 puntos)** Para definir una recta necesitamos un punto y un vector director. 1. **Vector director $\vec{v_s}$:** Lo obtenemos restando los componentes de los puntos $A$ y $B$: $$\vec{v_s} = \vec{AB} = B - A = (0 - 1, 1 - 1, 0 - 0) = (-1, 0, 0)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar como vector director $\vec{d_s} = (1, 0, 0)$. 2. **Punto de la recta:** Usamos el punto $A(1, 1, 0)$. 3. **Ecuaciones de la recta:** En forma paramétrica, la recta es: $$\begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 1 \\ z = 0 \end{cases}$$ Las ecuaciones cartesianas (o implícitas) se obtienen eliminando el parámetro $\lambda$. En este caso, al ser constantes $y$ y $z$, obtenemos directamente las dos ecuaciones de los planos cuya intersección es la recta. 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación cartesiana de una recta se expresa como la intersección de dos planos independientes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{s: \begin{cases} y = 1 \\ z = 0 \end{cases}}$$

**b) Dé la posición relativa de las rectas $r$ y $s$. (0,75 puntos)** Analizamos los elementos característicos de ambas rectas: - **Recta $r$:** Viene dada por $y = 0$ y $z = 2$. Un punto de esta recta es $P_r(0, 0, 2)$. Su vector director $\vec{v_r}$ es perpendicular a los vectores normales de los planos que la definen, $(0, 1, 0)$ y $(0, 0, 1)$. Por inspección, el vector director es: $$\vec{v_r} = (1, 0, 0)$$ - **Recta $s$:** Como calculamos antes, tiene como vector director $\vec{v_s} = (1, 0, 0)$ y pasa por el punto $P_s(1, 1, 0)$. **Comparación de vectores directores:** Como $\vec{v_r} = (1, 0, 0)$ y $\vec{v_s} = (1, 0, 0)$, los vectores son iguales (y por tanto proporcionales). Esto implica que las rectas son **paralelas o coincidentes**. **Comprobación de coincidencia:** Veamos si el punto $P_s(1, 1, 0)$ pertenece a la recta $r$. Sustituimos sus coordenadas en las ecuaciones de $r$: $$\begin{cases} y = 1 \neq 0 \\ z = 0 \neq 2 \end{cases}$$ Como el punto no satisface las ecuaciones, las rectas no son coincidentes. 💡 **Tip:** Si los vectores directores son proporcionales, las rectas tienen la misma dirección. Si además comparten un punto, son la misma recta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ son paralelas.}}$$

**c) Obtenga la distancia entre $r$ a $s$. (1 punto)** Dado que las rectas son paralelas, la distancia entre ellas es igual a la distancia de cualquier punto de $s$ a la recta $r$. Utilizaremos la fórmula de la distancia de un punto a una recta: $$d(s, r) = d(P_s, r) = \frac{|\vec{v_r} \times \vec{P_r P_s}|}{|\vec{v_r}|}$$ 1. **Datos:** $P_s = (1, 1, 0)$ $P_r = (0, 0, 2)$ $\vec{v_r} = (1, 0, 0)$ $\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (1 - 0, 1 - 0, 0 - 2) = (1, 1, -2)$ 2. **Producto vectorial $\vec{v_r} \times \vec{P_r P_s}$:** $$\vec{v_r} \times \vec{P_r P_s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus (o desarrollo por la primera fila): $$= \mathbf{i}(0 \cdot (-2) - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot (-2) - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1)$$ $$= 0\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (0, 2, 1)$$ 3. **Módulos:** $|\vec{v_r} \times \vec{P_r P_s}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$ $|\vec{v_r}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1$ 4. **Cálculo final:** $$d(s, r) = \frac{\sqrt{5}}{1} = \sqrt{5}$$ 💡 **Tip:** Para rectas paralelas, no uses la fórmula de distancia entre rectas que se cruzan (el producto mixto en el numerador), ya que el resultado sería cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, s) = \sqrt{5} \text{ unidades}}$$