Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) Estudie su compatibilidad según los valores del número real $a$. (1,5 puntos)** Para estudiar la compatibilidad del sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**. Primero, definimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & a \\ a & 3 & 1 \\ 2 & a & 2a \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & a & 1 \\ a & 3 & 1 & 0 \\ 2 & a & 2a & 2 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & a \\ a & 3 & 1 \\ 2 & a & 2a \end{vmatrix} = (1 \cdot 3 \cdot 2a) + (-1 \cdot 1 \cdot 2) + (a \cdot a \cdot a) - (2 \cdot 3 \cdot a) - (a \cdot 1 \cdot 1) - (2a \cdot a \cdot (-1))$$ $$|A| = 6a - 2 + a^3 - 6a - a + 2a^2 = a^3 + 2a^2 - a - 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para discutir un sistema, el primer paso suele ser hallar los valores de los parámetros que anulan el determinante de la matriz de coeficientes, ya que estos marcan los cambios en el rango de la matriz.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $a$: $$a^3 + 2a^2 - a - 2 = 0$$ Podemos factorizar por grupos o usar la regla de Ruffini. Observamos que la suma de coeficientes es $1+2-1-2=0$, por lo que $a=1$ es una raíz: $$\begin{array}{r|rrrr} & 1 & 2 & -1 & -2 \\ 1 & & 1 & 3 & 2 \\ \hline & 1 & 3 & 2 & 0 \end{array}$$ La ecuación resultante es $a^2 + 3a + 2 = 0$. Resolvemos: $$a = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2} = \frac{-3 \pm 1}{2} \implies a = -1, \, a = -2$$ Por lo tanto, las raíces son **$a = 1, a = -1, a = -2$**. $$\boxed{|A| = (a-1)(a+1)(a+2)}$$

Analizamos los rangos de $A$ y $A^*$ para cada caso: **Caso 1: $a \neq 1, a \neq -1, a \neq -2$** En este caso, $|A| \neq 0$. Por tanto, $\text{rango}(A) = 3$. Como el rango máximo es 3, $\text{rango}(A^*) = 3$ también. Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 3$ (número de incógnitas), el sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)**. **Caso 2: $a = 1$** $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 2 \end{array}\right)$$ $|A|=0$ y el menor $\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 4 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$. Estudiamos el rango de $A^*$ orlando con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (6 + 0 + 1) - (6 + 0 - 2) = 7 - 4 = 3 \neq 0 \implies \text{rango}(A^*) = 3$$ Como $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(A^*)$, es un **Sistema Incompatible (SI)**. **Caso 3: $a = -1$** $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & -2 & 2 \end{array}\right)$$ $|A|=0$ y el menor $\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = 2 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$. Orlando para $A^*$: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = (6 + 0 + 1) - (6 + 0 + 2) = 7 - 8 = -1 \neq 0 \implies \text{rango}(A^*) = 3$$ Como $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(A^*)$, es un **Sistema Incompatible (SI)**. **Caso 4: $a = -2$** $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -2 & 1 \\ -2 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & -4 & 2 \end{array}\right)$$ Observamos que la fila 3 es el doble de la fila 1 ($F_3 = 2F_1$). Por tanto, el rango de $A^*$ no puede ser 3. Como el menor $\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$, entonces $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2$. Como el rango es menor que el número de incógnitas, el sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**. 💡 **Tip:** Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**: - $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = n \implies$ SCD - $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) < n \implies$ SCI - $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*) \implies$ SI

**b) Resuélvalo, si es posible, cuando $a = -2$. (1 punto)** Como vimos en el apartado anterior, para $a = -2$ el sistema es **Compatible Indeterminado**. El sistema original se reduce a las dos primeras ecuaciones (ya que la tercera es proporcional a la primera): $$\begin{cases} x - y - 2z = 1 \\ -2x + 3y + z = 0 \end{cases}$$ Como el rango es 2, necesitamos un parámetro. Sea **$z = \lambda$** con $\lambda \in \mathbb{R}$. El sistema queda: $$\begin{cases} x - y = 1 + 2\lambda \\ -2x + 3y = -\lambda \end{cases}$$ Multiplicamos la primera ecuación por 2 y sumamos: $$2(x - y) = 2(1 + 2\lambda) \implies 2x - 2y = 2 + 4\lambda$$ $$(2x - 2y) + (-2x + 3y) = (2 + 4\lambda) + (-\lambda) \implies y = 2 + 3\lambda$$ Sustituimos $y$ en la primera ecuación para hallar $x$: $$x = 1 + 2\lambda + y = 1 + 2\lambda + (2 + 3\lambda) = 3 + 5\lambda$$ La solución del sistema es: $$\boxed{\begin{cases} x = 3 + 5\lambda \\ y = 2 + 3\lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$ 💡 **Tip:** En un SCI con rango 2 y 3 incógnitas, siempre debemos elegir una variable como parámetro (normalmente $\lambda$) para expresar las otras dos en función de esta.