División de un segmento y plano perpendicular

**a) [1’25 puntos] Calcula las coordenadas de los puntos que dividen al segmento $AB$ en tres partes iguales.** Para dividir el segmento $AB$ en tres partes iguales, necesitamos encontrar dos puntos, llamémoslos $P$ y $Q$, que se encuentren sobre el segmento de forma que se cumpla: $$\vec{AP} = \frac{1}{3}\vec{AB} \quad y \quad \vec{AQ} = \frac{2}{3}\vec{AB}$$ Primero, calculamos el vector $\vec{AB}$ restando las coordenadas de $A$ a las de $B$: $$\vec{AB} = B - A = (-1 - 1, 0 - 2, 4 - 3) = (-2, -2, 1)$$ 💡 **Tip:** El vector que va de un punto $A$ a un punto $B$ se calcula siempre como extremo menos origen: $\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$.

El primer punto $P$ se obtiene sumando al punto $A$ un tercio del vector $\vec{AB}$: $$P = A + \frac{1}{3}\vec{AB} = (1, 2, 3) + \frac{1}{3}(-2, -2, 1)$$ Realizamos las operaciones componente a componente: $$P = \left(1 - \frac{2}{3}, 2 - \frac{2}{3}, 3 + \frac{1}{3}\right) = \left(\frac{3-2}{3}, \frac{6-2}{3}, \frac{9+1}{3}\right)$$ $$\boxed{P = \left(\frac{1}{3}, \frac{4}{3}, \frac{10}{3}\right)}$$

El segundo punto $Q$ se obtiene sumando al punto $A$ dos tercios del vector $\vec{AB}$ (o bien sumando $\frac{1}{3}\vec{AB}$ al punto $P$): $$Q = A + \frac{2}{3}\vec{AB} = (1, 2, 3) + \frac{2}{3}(-2, -2, 1)$$ Calculamos las coordenadas: $$Q = \left(1 - \frac{4}{3}, 2 - \frac{4}{3}, 3 + \frac{2}{3}\right) = \left(\frac{3-4}{3}, \frac{6-4}{3}, \frac{9+2}{3}\right)$$ $$\boxed{Q = \left(-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{11}{3}\right)}$$ Visualmente, la división del segmento se vería así:

**b) [1’25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por el punto $A$ y es perpendicular al segmento $AB$.** Si el plano es perpendicular al segmento $AB$, el vector $\vec{AB}$ (o cualquier vector proporcional a él) es el vector normal del plano $\vec{n}$. Utilizamos el vector calculado en el apartado anterior: $$\vec{n} = \vec{AB} = (-2, -2, 1)$$ 💡 **Tip:** Si un plano es perpendicular a una recta o segmento, el vector director de dicha recta es el vector normal del plano $(A, B, C)$ en su ecuación general $Ax + By + Cz + D = 0$.

La ecuación general del plano tiene la forma: $$-2x - 2y + z + D = 0$$ Para hallar el valor de $D$, imponemos la condición de que el plano pasa por el punto $A(1, 2, 3)$: $$-2(1) - 2(2) + 1(3) + D = 0$$ $$-2 - 4 + 3 + D = 0$$ $$-3 + D = 0 \implies D = 3$$ Sustituimos $D$ en la ecuación: $$-2x - 2y + z + 3 = 0$$ Multiplicando por $-1$ para obtener una expresión más habitual: $$\boxed{2x + 2y - z - 3 = 0}$$