Ecuaciones matriciales y sistemas de matrices

**a) [1’25 puntos] Calcula $X$ e $Y$ tales que $X - Y = A^t$ y $2X - Y = B$ ($A^t$ es la matriz traspuesta de $A$).** En primer lugar, calculamos la matriz traspuesta $A^t$ intercambiando las filas por columnas de la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \implies A^t = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora planteamos el sistema de ecuaciones matriciales: $$\begin{cases} X - Y = A^t & (1) \\ 2X - Y = B & (2) \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para trasponer una matriz, la primera fila se convierte en la primera columna y la segunda fila en la segunda columna.

Para despejar $X$, podemos restar las dos ecuaciones del sistema para eliminar la incógnita $Y$: $$(2X - Y) - (X - Y) = B - A^t$$ $$2X - Y - X + Y = B - A^t \implies X = B - A^t$$ Sustituimos los valores de $B$ y $A^t$: $$X = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - (-1) & -1 - 0 \\ 1 - 2 & 0 - 1 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (Matriz X):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}}$$

A partir de la ecuación (1), despejamos la matriz $Y$: $$X - Y = A^t \implies Y = X - A^t$$ Sustituimos las matrices conocidas: $$Y = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - (-1) & -1 - 0 \\ -1 - 2 & -1 - 1 \end{pmatrix}$$ $$Y = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (Matriz Y):** $$\boxed{Y = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}}$$

**b) [1’25 puntos] Calcula $Z$ tal que $AZ = BZ + A$.** Primero, agrupamos los términos con la incógnita $Z$ en un lado de la igualdad: $$AZ - BZ = A$$ Extraemos factor común $Z$ por la derecha: $$(A - B)Z = A$$ Llamamos $C = A - B$. Para despejar $Z$, si $C$ tiene inversa, multiplicamos por $C^{-1}$ por la izquierda: $$C Z = A \implies Z = C^{-1} A$$ 💡 **Tip:** Al extraer factor común en matrices, es vital respetar el lado (izquierda o derecha). Como $Z$ está a la derecha en ambos términos, se extrae por la derecha.

Calculamos $C = A - B$: $$C = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 - 1 & 2 - (-1) \\ 0 - 1 & 1 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante de $C$: $$|C| = \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = (-2)(1) - (3)(-1) = -2 + 3 = 1$$ Como $|C| \neq 0$, la matriz $C$ es invertible. Calculamos $C^{-1}$ usando la matriz adjunta: $$Adj(C) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}^t = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$$ $$C^{-1} = \frac{1}{|C|} Adj(C) = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La inversa se calcula como $M^{-1} = \frac{1}{|M|} (Adj(M))^t$. Para una matriz $2 \times 2$, un truco rápido es intercambiar los elementos de la diagonal principal y cambiar el signo de los de la diagonal secundaria, dividiendo luego por el determinante.

Finalmente, calculamos $Z = C^{-1} A$: $$Z = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$Z = \begin{pmatrix} (1)(-1) + (-3)(0) & (1)(2) + (-3)(1) \\ (1)(-1) + (-2)(0) & (1)(2) + (-2)(1) \end{pmatrix}$$ $$Z = \begin{pmatrix} -1 & 2 - 3 \\ -1 & 2 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (Matriz Z):** $$\boxed{Z = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}}$$