Área de un recinto con valor absoluto y logaritmo

**a) [1’25 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de $g$ y la recta $y = 1$. Calcula los puntos de corte entre ellas.** Primero, expresamos la función $g(x) = |\ln(x)|$ como una función definida a trozos. Sabemos que $\ln(x) \ge 0$ si $x \ge 1$ y $\ln(x) \lt 0$ si $0 \lt x \lt 1$. Por tanto: $$g(x)=\begin{cases} -\ln(x) & \text{si } 0 \lt x \lt 1, \\ \ln(x) & \text{si } x \ge 1. \end{cases}$$ Para calcular los puntos de corte con la recta $y = 1$, igualamos $g(x) = 1$ en ambas ramas: 1. Si $0 \lt x \lt 1$: $-\ln(x) = 1 \implies \ln(x) = -1 \implies x = e^{-1} = \dfrac{1}{e}$. 2. Si $x \ge 1$: $\ln(x) = 1 \implies x = e^1 = e$. 💡 **Tip:** Recuerda que la función logaritmo neperiano es la inversa de la exponencial: $\ln(x) = y \iff x = e^y$. Los puntos de corte son **$(\frac{1}{e}, 1)$** y **$(e, 1)$**. $$\boxed{P_1 = (1/e, 1), \quad P_2 = (e, 1)}$$

Para representar la función $g(x) = |\ln(x)|$, dibujamos la gráfica de $y = \ln(x)$ y reflejamos respecto al eje $X$ la parte negativa (la que corresponde al intervalo $(0,1)$). El recinto queda limitado superiormente por la recta $y = 1$ e inferiormente por la curva $g(x)$. En el siguiente gráfico interactivo se muestra la región sombreada comprendida entre los puntos de corte calculados:

**b) [1’25 puntos] Calcula el área del recinto anterior.** El área del recinto se calcula mediante la integral definida de la función superior (la recta $y=1$) menos la función inferior ($g(x)$) entre los límites de integración $x = 1/e$ y $x = e$: $$A = \int_{1/e}^{e} [1 - g(x)] \, dx$$ Como $g(x)$ está definida a trozos, debemos dividir la integral en el punto de cambio de rama $x = 1$: $$A = \int_{1/e}^{1} [1 - (-\ln(x))] \, dx + \int_{1}^{e} [1 - \ln(x)] \, dx$$ $$A = \int_{1/e}^{1} (1 + \ln(x)) \, dx + \int_{1}^{e} (1 - \ln(x)) \, dx$$ 💡 **Tip:** Cuando una función tiene un valor absoluto, siempre debemos estudiar su signo para romperlo y plantear las integrales correspondientes por intervalos.

Para resolver las integrales anteriores, necesitamos la primitiva de $\ln(x)$, que calculamos por el método de **integración por partes**: Sea $\int \ln(x) \, dx$: Tomamos $u = \ln(x) \implies du = \frac{1}{x} dx$ Tomamos $dv = dx \implies v = x$ Aplicando la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$\int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln(x) - \int 1 \, dx = x \ln(x) - x + C$$ Por tanto: - $\int (1 + \ln(x)) \, dx = x + (x \ln(x) - x) = x \ln(x)$ - $\int (1 - \ln(x)) \, dx = x - (x \ln(x) - x) = 2x - x \ln(x)$

Aplicamos la Regla de Barrow a cada tramo: **Tramo 1:** $$\left[ x \ln(x) \right]_{1/e}^{1} = (1 \cdot \ln(1)) - \left( \frac{1}{e} \ln\left(\frac{1}{e}\right) \right) = 0 - \left( \frac{1}{e} \cdot (-1) \right) = \frac{1}{e}$$ **Tramo 2:** $$\left[ 2x - x \ln(x) \right]_{1}^{e} = (2e - e \ln(e)) - (2(1) - 1 \ln(1)) = (2e - e) - (2 - 0) = e - 2$$ Sumamos ambas áreas: $$A = \frac{1}{e} + e - 2$$ Para dar una aproximación numérica: $A \approx 0.3679 + 2.7183 - 2 = 1.0862$ unidades cuadradas. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = e + \frac{1}{e} - 2 \text{ u}^2}$$