Determinación de parámetros de una función cúbica

Para resolver este problema, necesitamos identificar las condiciones que nos imponen los datos del enunciado. Dado que nos hablan de la recta normal (relacionada con la primera derivada) y de un punto de inflexión (relacionado con la segunda derivada), calculamos ambas derivadas para la función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$: 1. Primera derivada (pendiente de la recta tangente): $$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$$ 2. Segunda derivada (curvatura): $$f''(x) = 6x + 2a$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar un polinomio $x^n$, aplicamos la regla $\frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}$.

La recta normal en $x=0$ es $y + x = -3$. El punto de la gráfica de la función en $x=0$ debe pertenecer también a la recta normal, ya que es el punto de contacto. Sustituimos $x = 0$ en la ecuación de la recta para hallar la ordenada $y$: $$y + 0 = -3 \implies y = -3$$ Por tanto, el punto de la gráfica es $(0, -3)$, lo que significa que $f(0) = -3$. Sustituyendo en la expresión de $f(x)$: $$f(0) = 0^3 + a(0)^2 + b(0) + c = -3 \implies c = -3$$ ✅ **Parámetro calculado:** $$\boxed{c = -3}$$

La recta normal es $y = -x - 3$, cuya pendiente es $m_n = -1$. Sabemos que la pendiente de la recta normal ($m_n$) y la pendiente de la recta tangente ($m_t$) en un punto están relacionadas por la fórmula $m_n = -\frac{1}{m_t}$, donde $m_t = f'(0)$. Por tanto: $$-1 = -\frac{1}{f'(0)} \implies f'(0) = 1$$ Usamos la expresión de $f'(x)$ calculada anteriormente: $$f'(0) = 3(0)^2 + 2a(0) + b = 1 \implies b = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si dos rectas son perpendiculares, el producto de sus pendientes es $-1$. La recta tangente y la normal siempre son perpendiculares en el punto de tangencia. ✅ **Parámetro calculado:** $$\boxed{b = 1}$$

El enunciado indica que el punto de inflexión tiene abscisa $x = 1$. En los puntos de inflexión de funciones polinómicas, la segunda derivada se anula: $$f''(1) = 0$$ Utilizamos la expresión de $f''(x)$: $$f''(1) = 6(1) + 2a = 0$$ $$6 + 2a = 0 \implies 2a = -6 \implies a = -3$$ 💡 **Tip:** El punto de inflexión es aquel donde la función cambia su curvatura (de cóncava a convexa o viceversa) y es condición necesaria que $f''(x)=0$ si la segunda derivada existe. ✅ **Parámetro calculado:** $$\boxed{a = -3}$$

Tras aplicar las tres condiciones proporcionadas por el ejercicio, hemos determinado los valores de los tres parámetros: - De la posición del punto en la normal ($f(0)=-3$), obtenemos $c = -3$. - De la pendiente de la normal ($f'(0)=1$), obtenemos $b = 1$. - De la abscisa del punto de inflexión ($f''(1)=0$), obtenemos $a = -3$. La función buscada es: $$f(x) = x^3 - 3x^2 + x - 3$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = -3, b = 1, c = -3}$$