Geometría en el espacio: Paralelogramo, plano y recta

**a) [1 punto] Halla la ecuación del plano que contiene al paralelogramo.** Para hallar la ecuación de un plano necesitamos un punto y dos vectores directores que no sean paralelos. Utilizaremos el punto $A(-1, 0, 3)$ y los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{BC}$. Calculamos el vector $\vec{AB}$: $$\vec{AB} = B - A = (2 - (-1), -1 - 0, 1 - 3) = (3, -1, -2)$$ Calculamos el vector $\vec{BC}$: $$\vec{BC} = C - B = (3 - 2, 2 - (-1), -3 - 1) = (1, 3, -4)$$ 💡 **Tip:** Un plano queda determinado por un punto $P$ y dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$. Cualquier punto $X(x,y,z)$ del plano cumple que el determinante formado por $(X-P)$, $\vec{u}$ y $\vec{v}$ es cero.

Para obtener la ecuación general del plano $\pi: Ax + By + Cz + D = 0$, calculamos el vector normal $\vec{n}$ mediante el producto vectorial de los vectores directores: $$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{BC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -1 & -2 \\ 1 & 3 & -4 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por la regla de Sarrus: $$\vec{n} = \vec{i}[(-1)(-4) - (-2)(3)] - \vec{j}[(3)(-4) - (-2)(1)] + \vec{k}[(3)(3) - (-1)(1)]$$ $$\vec{n} = \vec{i}[4 + 6] - \vec{j}[-12 + 2] + \vec{k}[9 + 1]$$ $$\vec{n} = 10\vec{i} + 10\vec{j} + 10\vec{k} = (10, 10, 10)$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo por 10, obteniendo $\vec{n}' = (1, 1, 1)$. 💡 **Tip:** El producto vectorial produce un vector perpendicular a los dos originales. Si los componentes tienen un factor común, podemos simplificarlo para facilitar los cálculos de la ecuación del plano.

La ecuación del plano será de la forma $1x + 1y + 1z + D = 0$. Para hallar $D$, sustituimos las coordenadas del punto $A(-1, 0, 3)$: $$1(-1) + 1(0) + 1(3) + D = 0$$ $$-1 + 3 + D = 0 \implies 2 + D = 0 \implies D = -2$$ La ecuación del plano que contiene al paralelogramo es: ✅ **Resultado:** $$\boxed{x + y + z - 2 = 0}$$

**b) [1 punto] Halla la ecuación de la recta que contiene a la diagonal $AC$ del paralelogramo.** Para definir la recta $r$ que pasa por $A$ y $C$, necesitamos el punto $A(-1, 0, 3)$ y el vector director $\vec{AC}$: $$\vec{AC} = C - A = (3 - (-1), 2 - 0, -3 - 3) = (4, 2, -6)$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo por 2: $\vec{v}_r = (2, 1, -3)$. Expresamos la recta en su forma continua: $$\frac{x - x_0}{v_x} = \frac{y - y_0}{v_y} = \frac{z - z_0}{v_z}$$ Sustituyendo el punto $A$ y el vector $\vec{v}_r$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 3}{-3}}$$ 💡 **Tip:** También podrías dar la solución en paramétricas: $\begin{cases} x = -1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = 3 - 3\lambda \end{cases}$

**c) [0’5 puntos] Calcula las coordenadas del vértice $D$.** En un paralelogramo $ABCD$, los vectores de los lados opuestos son iguales. Por tanto, se cumple que: $$\vec{AB} = \vec{DC}$$ O bien, usando la suma de vectores desde el origen: $$D = A + \vec{BC}$$ Ya habíamos calculado $\vec{BC} = (1, 3, -4)$ en el apartado (a). Entonces: $$D = (-1, 0, 3) + (1, 3, -4)$$ $$D = (-1 + 1, 0 + 3, 3 - 4) = (0, 3, -1)$$ Visualización de la disposición de los puntos: 💡 **Tip:** En un paralelogramo, los puntos medios de las diagonales $AC$ y $BD$ coinciden. Es otra forma de verificar el resultado: $M_{AC} = \frac{A+C}{2} = (1, 1, 0)$ y $M_{BD} = \frac{B+D}{2} = (1, 1, 0)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{D(0, 3, -1)}$$