Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales

**a) [1’5 puntos] Determina el valor de $m$ para el que al añadir la ecuación $x + my + 4z = -3$ al sistema anterior se obtenga un sistema con las mismas soluciones.** El sistema inicial tiene 2 ecuaciones y 3 incógnitas. Como los coeficientes de las incógnitas no son proporcionales, el rango de la matriz de coeficientes es 2. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, al ser $rg(A) = 2 \lt 3$ (número de incógnitas), el sistema es compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones). Para que al añadir una tercera ecuación el sistema resultante siga teniendo las **mismas soluciones**, el rango del sistema no debe aumentar. Esto significa que la nueva ecuación debe ser una combinación lineal de las dos anteriores, y el rango de la nueva matriz de coeficientes $A'$ y de la matriz ampliada $A'^*$ debe seguir siendo 2. 💡 **Tip:** Si el rango subiera a 3, el sistema pasaría a tener una solución única, perdiendo las infinitas soluciones originales. Si el rango de la ampliada fuera 3 y el de la de coeficientes 2, el sistema sería incompatible.

Para que el rango de la nueva matriz de coeficientes $A'$ sea 2, su determinante debe ser cero: $$A' = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & m & 4 \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante aplicando la regla de Sarrus: $$|A'| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & m & 4 \end{vmatrix} = (1 \cdot 3 \cdot 4) + (2 \cdot m \cdot 1) + (-1 \cdot -1 \cdot 1) - [ (1 \cdot 3 \cdot 1) + (2 \cdot -1 \cdot 4) + (m \cdot -1 \cdot 1) ]$$ $$|A'| = (12 + 2m + 1) - (3 - 8 - m) = (13 + 2m) - (-5 - m)$$ $$|A'| = 13 + 2m + 5 + m = 3m + 18$$ Igualamos a cero para encontrar $m$: $$3m + 18 = 0 \implies 3m = -18 \implies m = -6$$ Para $m = -6$, el $rg(A') = 2$.

Debemos comprobar que para $m = -6$, el rango de la matriz ampliada $A'^*$ también es 2. La matriz ampliada es: $$A'^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & -1 & 3 \\ 1 & -6 & 4 & -3 \end{array}\right)$$ Comprobamos si el determinante de una submatriz $3 \times 3$ que incluya la columna de términos independientes es cero: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & 3 \\ 1 & -6 & -3 \end{vmatrix} = (-9 - 3 + 0) - (0 - 18 + 6) = -12 - (-12) = 0$$ Como todos los determinantes de orden 3 son nulos, el $rg(A'^*) = 2$. Por tanto, el sistema tiene las mismas soluciones que el original. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = -6}$$

**b) [1 punto] Calcula la solución del sistema para la que la suma de los valores de las incógnitas sea 6.** Se nos pide encontrar una solución particular que cumpla $x + y + z = 6$. Esto equivale a resolver el sistema formado por las dos ecuaciones originales y esta nueva condición: $$\begin{cases} x - y + z = 0 & (1) \\ 2x + 3y - z = 3 & (2) \\ x + y + z = 6 & (3) \end{cases}$$ 💡 **Tip:** En este caso, buscamos un punto específico de la recta de soluciones del sistema original que pertenezca al plano definido por $x+y+z=6$.

Podemos resolver este sistema por el método de sustitución de forma muy eficiente. De la ecuación $(1)$, despejamos $x + z$: $$x + z = y$$ Sustituimos este valor en la ecuación $(3)$: $$(x + z) + y = 6 \implies y + y = 6 \implies 2y = 6 \implies \mathbf{y = 3}$$ Ahora, con $y = 3$, el sistema se reduce a: $$\begin{cases} x + z = 3 & (1') \\ 2x - z = 3 - 3(3) = -6 & (2') \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones para eliminar $z$: $$(x + z) + (2x - z) = 3 + (-6) \implies 3x = -3 \implies \mathbf{x = -1}$$ Finalmente, sustituimos $x$ en $(1')$: $$-1 + z = 3 \implies \mathbf{z = 4}$$ La solución es $(x, y, z) = (-1, 3, 4)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = -1, \, y = 3, \, z = 4}$$