Integral indefinida por cambio de variable

Siguiendo la sugerencia del enunciado, aplicamos el cambio de variable $t = \sqrt{x}$. Para transformar completamente la integral, debemos expresar $x$ y el diferencial $dx$ en función de $t$: 1. Si $t = \sqrt{x}$, entonces $x = t^2$. 2. Derivamos ambos lados respecto a sus variables: $dx = 2t \, dt$. 💡 **Tip:** Al realizar un cambio de variable, no olvides derivar para hallar la equivalencia del diferencial ($dx$), de lo contrario la integral no será correcta.

Sustituimos las expresiones obtenidas en la integral original: $$\int \frac{x + 1}{1 + \sqrt{x}} dx = \int \frac{t^2 + 1}{1 + t} (2t) \, dt$$ Multiplicamos el numerador por $2t$: $$\int \frac{2t(t^2 + 1)}{t + 1} \, dt = \int \frac{2t^3 + 2t}{t + 1} \, dt$$ Observamos que el grado del numerador (3) es mayor que el del denominador (1), por lo que debemos realizar una división de polinomios.

Dividimos $2t^3 + 2t$ entre $t + 1$ para simplificar la fracción: $$\begin{array}{r|l} 2t^3 + 0t^2 + 2t + 0 & t + 1 \\ \hline -(2t^3 + 2t^2) & 2t^2 - 2t + 4 \\ \hline -2t^2 + 2t & \\ -(-2t^2 - 2t) & \\ \hline 4t + 0 & \\ -(4t + 4) & \\ \hline -4 & \end{array}$$ Por la prueba de la división (Dividendo = divisor $\cdot$ cociente + resto), tenemos: $$\frac{2t^3 + 2t}{t + 1} = 2t^2 - 2t + 4 - \frac{4}{t + 1}$$ 💡 **Tip:** Siempre que el grado del numerador sea mayor o igual al del denominador, utiliza la división de polinomios: $\frac{D}{d} = C + \frac{R}{d}$.

Ahora integramos término a término la expresión simplificada: $$\int \left( 2t^2 - 2t + 4 - \frac{4}{t + 1} \right) dt$$ Aplicando las reglas básicas de integración: $$\int 2t^2 \, dt - \int 2t \, dt + \int 4 \, dt - \int \frac{4}{t + 1} \, dt$$ $$= 2\frac{t^3}{3} - 2\frac{t^2}{2} + 4t - 4\ln|t + 1| + C$$ $$= \frac{2t^3}{3} - t^2 + 4t - 4\ln|t + 1| + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{1}{x+a} dx = \ln|x+a| + C$.

Finalmente, sustituimos $t = \sqrt{x}$ para volver a la variable original: - $t^2 = x$ - $t^3 = (\sqrt{x})^3 = x\sqrt{x}$ - $t = \sqrt{x}$ Sustituyendo: $$I = \frac{2x\sqrt{x}}{3} - x + 4\sqrt{x} - 4\ln|1 + \sqrt{x}| + C$$ Como $\sqrt{x}$ siempre es mayor o igual a 0, $1 + \sqrt{x}$ es siempre positivo, por lo que podemos omitir el valor absoluto en el logaritmo. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int \frac{x + 1}{1 + \sqrt{x}} dx = \frac{2x\sqrt{x}}{3} - x + 4\sqrt{x} - 4\ln(1 + \sqrt{x}) + C}$$