Optimización del perímetro de un rectángulo inscrito en un semicírculo

Para resolver este problema de optimización, primero definimos las variables y situamos el semicírculo en un sistema de ejes coordenados. Colocamos el centro del semicírculo en el origen $(0,0)$ y su diámetro sobre el eje $X$. La ecuación de la semicircunferencia de radio $R = \sqrt{5}$ es: $$x^2 + y^2 = (\sqrt{5})^2 \implies x^2 + y^2 = 5, \quad \text{con } y \ge 0$$ Sea un rectángulo con base apoyada en el eje $X$. Si llamamos $x$ a la coordenada del vértice inferior derecho, el ancho total del rectángulo será $2x$ y su altura será $y$. Los vértices superiores estarán en $(\pm x, y)$ sobre la curva. Por tanto, las dimensiones son: - **Base ($b$):** $2x$ - **Altura ($h$):** $y$ 💡 **Tip:** Dibujar el esquema ayuda a visualizar que la base se divide en dos partes iguales respecto al centro del semicírculo.

Como el vértice $(x, y)$ está en la semicircunferencia, se cumple la relación: $$y = \sqrt{5 - x^2}$$ Queremos maximizar el **perímetro ($P$)** del rectángulo. La fórmula del perímetro es la suma de sus cuatro lados: $$P = 2 \cdot \text{base} + 2 \cdot \text{altura} = 2(2x) + 2y = 4x + 2y$$ Sustituimos $y$ en función de $x$ para obtener la función de una sola variable $P(x)$: $$P(x) = 4x + 2\sqrt{5 - x^2}$$ El dominio de esta función, dado el contexto geométrico, es $x \in (0, \sqrt{5})$. 💡 **Tip:** Asegúrate siempre de expresar la función a optimizar con una única variable antes de derivar.

Para hallar el máximo, derivamos la función $P(x)$ con respecto a $x$ e igualamos a cero: $$P'(x) = \frac{d}{dx} (4x) + 2 \cdot \frac{d}{dx} (\sqrt{5 - x^2})$$ $$P'(x) = 4 + 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{5 - x^2}} \cdot (-2x) = 4 - \frac{2x}{\sqrt{5 - x^2}}$$ Igualamos la derivada a cero: $$4 - \frac{2x}{\sqrt{5 - x^2}} = 0 \implies 4 = \frac{2x}{\sqrt{5 - x^2}}$$ $$2 = \frac{x}{\sqrt{5 - x^2}} \implies 2\sqrt{5 - x^2} = x$$ Elevamos ambos miembros al cuadrado (como $x$ y el radical son positivos, no introducimos soluciones falsas): $$4(5 - x^2) = x^2 \implies 20 - 4x^2 = x^2$$ $$20 = 5x^2 \implies x^2 = 4 \implies x = 2 \text{ cm}$$ (Descartamos $x = -2$ ya que la distancia debe ser positiva). 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\sqrt{u}$ es $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$.

Comprobamos que en $x = 2$ hay un máximo utilizando la segunda derivada $P''(x)$: $$P'(x) = 4 - 2x(5 - x^2)^{-1/2}$$ $$P''(x) = -2 \left[ 1 \cdot (5 - x^2)^{-1/2} + x \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)(5 - x^2)^{-3/2}(-2x) \right]$$ $$P''(x) = -2 \left[ \frac{1}{\sqrt{5 - x^2}} + \frac{x^2}{(5 - x^2)^{3/2}} \right]$$ Evaluamos en $x = 2$: $$P''(2) = -2 \left[ \frac{1}{\sqrt{5 - 4}} + \frac{4}{(\sqrt{5 - 4})^3} \right] = -2 [1 + 4] = -10$$ Como $P''(2) \lt 0$, la función presenta un **máximo relativo** en $x = 2$. También podemos analizar el signo de la derivada cerca de $x=2$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0,2) & 2 & (2, \sqrt{5}) \\ \hline P'(x) & + & 0 & - \\ \text{Monotonía} & \text{Creciente} & \text{Máximo} & \text{Decreciente} \end{array}$$ 💡 **Tip:** Si la segunda derivada es negativa en un punto crítico, el punto es un máximo local.

Una vez hallado el valor óptimo de $x$, calculamos las dimensiones del rectángulo: 1. **Base:** $b = 2x = 2(2) = 4$ cm. 2. **Altura:** $h = y = \sqrt{5 - 2^2} = \sqrt{1} = 1$ cm. El perímetro máximo será $P = 4(2) + 2(1) = 10$ cm. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Base} = 4 \text{ cm, Altura} = 1 \text{ cm}}$$