Posición relativa y distancia entre rectas

**a) [1 punto] Determina la posición relativa de $r$ y $s$.** Para estudiar la posición relativa de dos rectas, primero extraemos un punto y un vector director de cada una. La recta $r$ viene dada en ecuaciones paramétricas: $$r \equiv \begin{cases} x = 2 - 3\lambda \\ y = 3 + 5\lambda \\ z = 0 + 1\lambda \end{cases}$$ De aquí obtenemos directamente: - Un punto de $r$: $P_r = (2, 3, 0)$ - El vector director de $r$: $\vec{v}_r = (-3, 5, 1)$

La recta $s$ viene dada por sus ecuaciones implícitas (intersección de dos planos). Para trabajar con ella, la pasamos a paramétricas asignando un parámetro a una de las variables. $$s \equiv \begin{cases} x + y = 1 \\ z = 5 \end{cases}$$ Si hacemos $x = \mu$, despejamos $y$: $y = 1 - x = 1 - \mu$ Así, las ecuaciones paramétricas de $s$ son: $$s \equiv \begin{cases} x = \mu \\ y = 1 - \mu \\ z = 5 \end{cases}$$ De aquí obtenemos: - Un punto de $s$: $P_s = (0, 1, 5)$ - El vector director de $s$: $\vec{v}_s = (1, -1, 0)$ 💡 **Tip:** Para pasar de implícitas a paramétricas, también puedes calcular el producto vectorial de los vectores normales de los planos para obtener el vector director de la recta.

Comprobamos si los vectores directores $\vec{v}_r = (-3, 5, 1)$ y $\vec{v}_s = (1, -1, 0)$ son paralelos. Para ello, vemos si sus coordenadas son proporcionales: $$\frac{-3}{1} \neq \frac{5}{-1} \neq \frac{1}{0}$$ Como no son proporcionales, las rectas **no son paralelas ni coincidentes**. Por tanto, o bien se cortan en un punto o bien se cruzan en el espacio. Para distinguirlo, analizamos el rango de la matriz formada por los vectores directores y el vector que une un punto de cada recta $\vec{P_rP_s}$: $$\vec{P_rP_s} = P_s - P_r = (0-2, 1-3, 5-0) = (-2, -2, 5)$$

Calculamos el determinante de la matriz $M = (\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_rP_s})$: $$\text{det}(M) = \begin{vmatrix} -3 & 5 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -2 & -2 & 5 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$\text{det}(M) = [(-3)(-1)(5) + (5)(0)(-2) + (1)(1)(-2)] - [(1)(-1)(-2) + (5)(1)(5) + (-3)(0)(-2)]$$ $$\text{det}(M) = [15 + 0 - 2] - [2 + 25 + 0] = 13 - 27 = -14$$ Como el $\text{det}(M) \neq 0$, el rango de la matriz es 3. Esto significa que los tres vectores son linealmente independientes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan en el espacio.}}$$

**b) [1’5 puntos] Calcula la distancia entre $r$ y $s$.** La distancia entre dos rectas que se cruzan se calcula con la fórmula: $$d(r, s) = \frac{|[\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_rP_s}]|}{|\vec{v}_r \times \vec{v}_s|}$$ Ya sabemos que el producto mixto (el determinante anterior) es $-14$, por lo que su valor absoluto es $14$. Calculamos ahora el producto vectorial $\vec{v}_r \times \vec{v}_s$: $$\vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & 5 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{v}_r \times \vec{v}_s = (0)\vec{i} + (1)\vec{j} + (3)\vec{k} - (5)\vec{k} - (-1)\vec{i} - (0)\vec{j} = 1\vec{i} + 1\vec{j} - 2\vec{k}$$ $$\vec{v}_r \times \vec{v}_s = (1, 1, -2)$$ 💡 **Tip:** El vector resultante del producto vectorial es perpendicular a ambas rectas, marcando la dirección de la distancia mínima.

Calculamos el módulo del vector producto vectorial: $$|\vec{v}_r \times \vec{v}_s| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$$ Finalmente, aplicamos la fórmula de la distancia: $$d(r, s) = \frac{|-14|}{\sqrt{6}} = \frac{14}{\sqrt{6}}$$ Racionalizamos para dar el resultado final: $$d(r, s) = \frac{14\sqrt{6}}{6} = \frac{7\sqrt{6}}{3} \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, s) = \frac{7\sqrt{6}}{3} \approx 5.715 \text{ u.l.}}$$