Sistemas de ecuaciones matriciales e inversión de matrices

**a) [1’25 puntos] Calcula las matrices $X$ e $Y$ para las que $2X - Y = A$ y $X - 3Y = B$.** Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas matriciales: 1) $2X - Y = A$ 2) $X - 3Y = B$ Podemos resolverlo por el método de sustitución o reducción, igual que un sistema lineal numérico. Despejamos $X$ de la segunda ecuación: $$X = B + 3Y$$ Sustituimos esta expresión en la primera ecuación: $$2(B + 3Y) - Y = A \implies 2B + 6Y - Y = A \implies 2B + 5Y = A$$ 💡 **Tip:** Las operaciones con matrices (suma y producto por un escalar) cumplen las mismas propiedades que los números reales en el contexto de sistemas lineales.

Aislamos $5Y$ en la ecuación obtenida: $$5Y = A - 2B$$ Calculamos primero $2B$: $$2B = 2\begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -9 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -8 \\ -18 & 10 \end{pmatrix}$$ Ahora restamos $A - 2B$: $$5Y = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -3 & 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & -8 \\ -18 & 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 15 & -5 \end{pmatrix}$$ Finalmente, despejamos $Y$ multiplicando por $\frac{1}{5}$: $$Y = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 15 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado para Y:** $$\boxed{Y = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}}$$

Utilizamos la expresión $X = B + 3Y$ calculada anteriormente: $$X = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -9 & 5 \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -9 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 9 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado para X:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}}$$

**b) [1’25 puntos] Halla la matriz $Z$ que verifica $B^2 + ZA + B^t = 3I$.** Primero aislamos el término que contiene la matriz $Z$: $$ZA = 3I - B^2 - B^t$$ Para despejar $Z$, si la matriz $A$ es invertible, multiplicaremos por $A^{-1}$ **por la derecha** en ambos miembros: $$ZAA^{-1} = (3I - B^2 - B^t)A^{-1} \implies Z = (3I - B^2 - B^t)A^{-1}$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden del producto es fundamental. Si $A$ está a la derecha de $Z$, su inversa debe aparecer a la derecha del otro miembro.

Calculamos cada parte de la expresión por separado: 1) **Matriz $B^2$**: $$B^2 = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -9 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -9 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+36 & -4-20 \\ -9-45 & 36+25 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 37 & -24 \\ -54 & 61 \end{pmatrix}$$ 2) **Matriz traspuesta $B^t$**: $$B^t = \begin{pmatrix} 1 & -9 \\ -4 & 5 \end{pmatrix}$$ 3) **Matriz $3I$**: $$3I = 3\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$ Calculamos la matriz resultante $M = 3I - B^2 - B^t$: $$M = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 37 & -24 \\ -54 & 61 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & -9 \\ -4 & 5 \end{pmatrix}$$ $$M = \begin{pmatrix} 3-37-1 & 0+24+9 \\ 0+54+4 & 3-61-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -35 & 33 \\ 58 & -63 \end{pmatrix}$$

Para hallar $A^{-1}$, primero calculamos su determinante: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ -3 & 5 \end{vmatrix} = (2)(5) - (-3)(-3) = 10 - 9 = 1$$ Como $|A| \neq 0$, existe la inversa. La fórmula es $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (Adj(A))^t$. Matriz de adjuntos $Adj(A)$: - $adj(a_{11}) = 5$ - $adj(a_{12}) = -(-3) = 3$ - $adj(a_{21}) = -(-3) = 3$ - $adj(a_{22}) = 2$ $$Adj(A) = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \implies (Adj(A))^t = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$$ $$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$$

Finalmente, calculamos $Z = M \cdot A^{-1}$: $$Z = \begin{pmatrix} -35 & 33 \\ 58 & -63 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$$ $$z_{11} = (-35)(5) + (33)(3) = -175 + 99 = -76$$ $$z_{12} = (-35)(3) + (33)(2) = -105 + 66 = -39$$ $$z_{21} = (58)(5) + (-63)(3) = 290 - 189 = 101$$ $$z_{22} = (58)(3) + (-63)(2) = 174 - 126 = 48$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{Z = \begin{pmatrix} -76 & -39 \\ 101 & 48 \end{pmatrix}}$$