Cálculo de una integral definida por partes

Para resolver la integral $\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \operatorname{sen}(2x) dx$, observamos que el integrando es el producto de una función polinómica ($x$) y una función trigonométrica ($\operatorname{sen}(2x)$). Este tipo de integrales se resuelven habitualmente mediante el método de **integración por partes**. 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla mnemotécnica útil para elegir $u$ es **ALPES** (Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos).

Siguiendo la regla ALPES, elegimos el polinomio como $u$ para que al derivar se simplifique: - Elegimos $u = x \implies du = dx$ - Elegimos $dv = \operatorname{sen}(2x) \, dx \implies v = \int \operatorname{sen}(2x) \, dx$ Calculamos $v$: $$v = -\frac{1}{2}\cos(2x)$$ 💡 **Tip:** Al integrar $\operatorname{sen}(ax)$, el resultado es $-\frac{1}{a}\cos(ax)$.

Aplicamos la fórmula de integración por partes a la integral indefinida $I = \int x \operatorname{sen}(2x) \, dx$: $$I = x \cdot \left( -\frac{1}{2}\cos(2x) \right) - \int -\frac{1}{2}\cos(2x) \, dx$$ Simplificamos la expresión: $$I = -\frac{x}{2}\cos(2x) + \frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx$$ Resolvemos la integral restante: $$\int \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2}\operatorname{sen}(2x)$$ Por tanto, la primitiva es: $$F(x) = -\frac{x}{2}\cos(2x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\operatorname{sen}(2x) = -\frac{x}{2}\cos(2x) + \frac{1}{4}\operatorname{sen}(2x)$$ $$\boxed{F(x) = -\frac{x}{2}\cos(2x) + \frac{1}{4}\operatorname{sen}(2x)}$$

Para hallar la integral definida entre $0$ y $\frac{\pi}{2}$, aplicamos la Regla de Barrow: $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \operatorname{sen}(2x) \, dx = \left[ -\frac{x}{2}\cos(2x) + \frac{1}{4}\operatorname{sen}(2x) \right]_0^{\frac{\pi}{2}}$$ Calculamos el valor en el límite superior ($x = \frac{\pi}{2}$): $$F\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi/2}{2}\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{4}\operatorname{sen}\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right)$$ $$F\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi}{4}\cos(\pi) + \frac{1}{4}\operatorname{sen}(\pi) = -\frac{\pi}{4}(-1) + \frac{1}{4}(0) = \frac{\pi}{4}$$ Calculamos el valor en el límite inferior ($x = 0$): $$F(0) = -\frac{0}{2}\cos(0) + \frac{1}{4}\operatorname{sen}(0) = 0 + 0 = 0$$ Restamos ambos valores: $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \operatorname{sen}(2x) \, dx = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\frac{\pi}{4}}$$