Estudio de parámetros y extremos de una función racional

**a) [1 punto] Halla $a$ y $k$ sabiendo que la gráfica de $f$ pasa por el punto $(0, 2)$ y que la recta $x = 2$ es una asíntota de dicha gráfica.** Las asíntotas verticales de una función racional suelen encontrarse en los valores que anulan el denominador (siempre que no anulen simultáneamente al numerador). Dado que $f(x) = \frac{k}{(x - a)(2x - 1)}$, el denominador se anula en $x = a$ y en $x = \frac{1}{2}$. Como el enunciado indica que $x = 2$ es una asíntota vertical y sabemos que $2 \neq \frac{1}{2}$, se debe cumplir necesariamente que: $$a = 2$$ 💡 **Tip:** Si $x = c$ es una asíntota vertical de una función racional $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, entonces $Q(c) = 0$.

Sabiendo ya que $a = 2$, la función es $f(x) = \frac{k}{(x - 2)(2x - 1)}$. El enunciado afirma que la gráfica pasa por el punto $(0, 2)$, lo que implica que $f(0) = 2$. Sustituimos $x = 0$ en la expresión: $$f(0) = \frac{k}{(0 - 2)(2 \cdot 0 - 1)} = \frac{k}{(-2)(-1)} = \frac{k}{2}$$ Igualamos a la ordenada del punto: $$\frac{k}{2} = 2 \implies k = 4$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{a = 2, \quad k = 4}$$

**b) [1’5 puntos] Para $k = 4$ y $a = 2$, halla los extremos relativos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.** Con los valores obtenidos, la función es: $$f(x) = \frac{4}{(x - 2)(2x - 1)} = \frac{4}{2x^2 - 5x + 2}$$ Para estudiar el crecimiento y los extremos, calculamos la primera derivada $f'(x)$ usando la regla de la cadena o del cociente: $$f'(x) = \frac{0 \cdot (2x^2 - 5x + 2) - 4 \cdot (4x - 5)}{(2x^2 - 5x + 2)^2} = \frac{-16x + 20}{(2x^2 - 5x + 2)^2}$$ 💡 **Tip:** Para derivar $\frac{k}{u(x)}$, es más rápido usar la fórmula $-k \cdot \frac{u'(x)}{u(x)^2}$.

Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies -16x + 20 = 0 \implies 16x = 20 \implies x = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}$$ Debemos considerar tanto el punto crítico $x = 5/4 = 1.25$ como los puntos donde la función no está definida ($x = 0.5$ y $x = 2$) para analizar el signo de $f'(x)$. El denominador $(2x^2 - 5x + 2)^2$ siempre es positivo en el dominio. El signo de $f'(x)$ depende solo del numerador $-16x + 20$. $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, 1/2) & 1/2 & (1/2, 5/4) & 5/4 & (5/4, 2) & 2 & (2, +\infty)\\ \hline f'(x) & + & \nexists & + & 0 & - & \nexists & -\\ \hline f(x) & \nearrow & \nexists & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \nexists & \searrow \end{array}$$ Intervalos de crecimiento y decrecimiento: - **Crecimiento:** $(-\infty, 1/2) \cup (1/2, 5/4)$ - **Decrecimiento:** $(5/4, 2) \cup (2, +\infty)$

Como la función crece a la izquierda de $x = 5/4$ y decrece a su derecha, existe un **máximo relativo** en ese punto. Calculamos la ordenada del máximo sustituyendo en $f(x)$: $$f\left(\frac{5}{4}\right) = \frac{4}{(\frac{5}{4} - 2)(2 \cdot \frac{5}{4} - 1)} = \frac{4}{(-\frac{3}{4})(\frac{3}{2})} = \frac{4}{-\frac{9}{8}} = -\frac{32}{9}$$ ✅ **Resultado del apartado b):** - **Intervalos de crecimiento:** $(-\infty, 1/2) \cup (1/2, 5/4)$ - **Intervalos de decrecimiento:** $(5/4, 2) \cup (2, +\infty)$ - **Máximo relativo:** $\boxed{\left(\frac{5}{4}, -\frac{32}{9}\right)}$ - **Mínimos relativos:** No existen.