Simetría respecto a una recta contenida en un plano

**a) [1’75 puntos] Halla la ecuación de la recta $r$ que está contenida en $\pi$ y tal que $A$ y $B$ son simétricos respecto de $r$.** Primero necesitamos hallar la ecuación del plano $\pi$ que contiene a los puntos $A, B$ y $C$. Para ello, calculamos dos vectores directores del plano a partir de los puntos: $$\vec{AB} = B - A = (-1 - 1, 0 - 2, 2 - 1) = (-2, -2, 1)$$ $$\vec{AC} = C - A = (3 - 1, 2 - 2, 0 - 1) = (2, 0, -1)$$ El vector normal del plano $\vec{n}_{\pi}$ se obtiene mediante el producto vectorial de ambos: $$\vec{n}_{\pi} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & -2 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{n}_{\pi} = [(-2)(-1)\vec{i} + (1)(2)\vec{j} + (-2)(0)\vec{k}] - [(2)(-2)\vec{k} + (0)(1)\vec{i} + (-1)(-2)\vec{j}]$$ $$\vec{n}_{\pi} = (2\vec{i} + 2\vec{j} + 0\vec{k}) - (-4\vec{k} + 0\vec{i} + 2\vec{j}) = 2\vec{i} + 0\vec{j} + 4\vec{k} = (2, 0, 4)$$ Podemos simplificar el vector normal usando $\vec{n}_{\pi} = (1, 0, 2)$. La ecuación del plano es de la forma $x + 2z + D = 0$. Sustituimos el punto $A(1, 2, 1)$: $$1 + 2(1) + D = 0 \implies D = -3$$ 💡 **Tip:** El vector normal a un plano $Ax+By+Cz+D=0$ es $(A,B,C)$ y es perpendicular a cualquier vector contenido en el plano. $$\boxed{\pi: x + 2z - 3 = 0}$$

Para que $A$ y $B$ sean simétricos respecto a una recta $r$, deben cumplirse dos condiciones: 1. La recta $r$ debe pasar por el punto medio del segmento $AB$, al que llamaremos $M$. 2. El vector director de la recta, $\vec{v}_r$, debe ser perpendicular al vector $\vec{AB}$. Además, el enunciado indica que $r$ está contenida en el plano $\pi$, lo que implica que: 3. El punto $M$ debe pertenecer a $\pi$ (lo cual es cierto ya que $A, B \in \pi$). 4. El vector director $\vec{v}_r$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_{\pi}$. Calculamos el punto medio $M$: $$M = \frac{A + B}{2} = \left( \frac{1 - 1}{2}, \frac{2 + 0}{2}, \frac{1 + 2}{2} \right) = (0, 1, 1.5)$$ Como $\vec{v}_r$ debe ser perpendicular a $\vec{AB} = (-2, -2, 1)$ y a $\vec{n}_{\pi} = (1, 0, 2)$, lo obtenemos mediante otro producto vectorial: $$\vec{v}_r = \vec{n}_{\pi} \times \vec{AB} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 2 \\ -2 & -2 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v}_r = [0\vec{i} + (2)(-2)\vec{j} + (1)(-2)\vec{k}] - [(-2)(0)\vec{k} + (-2)(2)\vec{i} + (1)(1)\vec{j}]$$ $$\vec{v}_r = (0\vec{i} - 4\vec{j} - 2\vec{k}) - (0\vec{k} - 4\vec{i} + \vec{j}) = 4\vec{i} - 5\vec{j} - 2\vec{k} = (4, -5, -2)$$ $$\boxed{M(0, 1, 1.5), \quad \vec{v}_r = (4, -5, -2)}$$

Con el punto $M(0, 1, 1.5)$ y el vector director $\vec{v}_r = (4, -5, -2)$, escribimos la ecuación de la recta $r$ en forma paramétrica: $$r: \begin{cases} x = 4\lambda \\ y = 1 - 5\lambda \\ z = 1.5 - 2\lambda \end{cases}$$ Visualización geométrica de la situación: ✅ **Resultado (recta r):** $$\boxed{r: \frac{x}{4} = \frac{y - 1}{-5} = \frac{z - 1.5}{-2}}$$

**b) [0’75 puntos] Calcula la distancia de $A$ a $r$.** Dado que $r$ es el eje de simetría entre $A$ y $B$, y pasa por su punto medio $M$ perpendicularmente al vector $\vec{AB}$, la distancia de $A$ a la recta $r$ coincide con la distancia entre el punto $A$ y el punto medio $M$. Calculamos el vector $\vec{MA}$: $$\vec{MA} = A - M = (1 - 0, 2 - 1, 1 - 1.5) = (1, 1, -0.5)$$ La distancia es el módulo de este vector: $$d(A, r) = |\vec{MA}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-0.5)^2}$$ $$d(A, r) = \sqrt{1 + 1 + 0.25} = \sqrt{2.25}$$ $$d(A, r) = 1.5$$ 💡 **Tip:** En una simetría axial, la distancia de un punto al eje es la misma que la distancia de su simétrico al eje, y se mide sobre la perpendicular que pasa por el punto medio. ✅ **Resultado (distancia):** $$\boxed{d(A, r) = 1.5 \text{ unidades}}$$