Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetros

**a) [1’25 puntos] Determina el rango de $A$ según los valores del parámetro $m$.** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Empezamos calculando el determinante de $A$ para ver cuándo es máximo (en este caso, 3). $$|A| = \begin{vmatrix} -2 & 1 & -3 \\ -1 & m & m - 2 \\ m & 0 & 2 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$|A| = [(-2)(m)(2) + (1)(m-2)(m) + (-3)(-1)(0)] - [(m)(m)(-3) + (0)(m-2)(-2) + (2)(-1)(1)]$$ $$|A| = [-4m + (m^2 - 2m) + 0] - [-3m^2 + 0 - 2]$$ $$|A| = m^2 - 6m + 3m^2 + 2 = 4m^2 - 6m + 2$$ 💡 **Tip:** El determinante nos indica si el rango puede ser igual al número de filas/columnas. Si $|A| \neq 0$, el rango es 3. Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$4m^2 - 6m + 2 = 0 \implies 2m^2 - 3m + 1 = 0$$ $$m = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(1)}}{2(2)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} = \frac{3 \pm 1}{4}$$ Los valores que anulan el determinante son: $$m_1 = 1, \quad m_2 = \frac{1}{2}$$ $$\boxed{|A| = 4m^2 - 6m + 2}$$

Analizamos el rango de $A$ en función de los valores obtenidos: 1. **Si $m \neq 1$ y $m \neq 1/2$**: Como el determinante es distinto de cero, el rango de la matriz es máximo: $$\text{rg}(A) = 3$$ 2. **Si $m = 1$**: La matriz queda: $$A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -3 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Como $|A|=0$, el rango es menor que 3. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -2 + 1 = -1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ 3. **Si $m = 1/2$**: La matriz queda: $$A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -3 \\ -1 & 1/2 & -3/2 \\ 1/2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1/2 & 0 \end{vmatrix} = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ ✅ **Resultado (Rango de A):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } m \neq 1 \text{ y } m \neq 1/2, & \text{rg}(A) = 3 \\ \text{Si } m = 1 \text{ o } m = 1/2, & \text{rg}(A) = 2 \end{cases}}$$

**b) [0’75 puntos] Discute el sistema $AX = B$ según los valores del parámetro $m$.** Para discutir el sistema utilizamos el **Teorema de Rouché-Capelli**, comparando el rango de la matriz de coeficientes $A$ y el de la matriz ampliada $A^* = (A|B)$. 1. **Caso $m \neq 1$ y $m \neq 1/2$**: $$\text{rg}(A) = 3 = \text{rg}(A^*) = n \text{ (nº de incógnitas)}$$ El sistema es **Compatible Determinado (SCD)** (solución única). 2. **Caso $m = 1$**: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 1 & -3 & 1 \\ -1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \end{array}\right)$$ Sabemos que $\text{rg}(A)=2$. Comprobamos el rango de $A^*$. Tomamos el menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} -2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ Todos los menores de orden 3 que incluyen la columna $B$ se anulan (se observa que $F_2 = F_1 + F_3$). $$\text{rg}(A) = 2 = \text{rg}(A^*) < 3$$ El sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)** (infinitas soluciones). 3. **Caso $m = 1/2$**: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 1 & -3 & 1 \\ -1 & 1/2 & -3/2 & 1 \\ 1/2 & 0 & 2 & 0 \end{array}\right)$$ Tomamos el menor formado por las columnas 2, 3 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & -3 & 1 \\ 1/2 & -3/2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \end{vmatrix} = -2 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1/2 & 1 \end{vmatrix} = -2(1 - 1/2) = -1 \neq 0$$ $$\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$$ El sistema es **Incompatible (SI)** (no tiene solución). 💡 **Tip:** Recuerda que si el rango de la matriz ampliada es mayor que el de la de coeficientes, el sistema no tiene solución. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} m \notin \{1, 1/2\} & \text{SCD} \\ m = 1 & \text{SCI} \\ m = 1/2 & \text{SI} \end{cases}}$$

**c) [0’5 puntos] Resuelve el sistema $AX = B$ para $m = 1$.** Como para $m=1$ el sistema es SCI y $\text{rg}(A)=2$, podemos eliminar una ecuación redundante (la segunda, pues $F_2 = F_1 + F_3$) y usar un parámetro para una de las incógnitas. El sistema reducido es: $$\begin{cases} -2x + y - 3z = 1 \\ x + 2z = 0 \end{cases}$$ De la segunda ecuación despejamos $x$ en función de $z$: $$x = -2z$$ Sustituimos en la primera ecuación: $$-2(-2z) + y - 3z = 1 \implies 4z + y - 3z = 1 \implies y + z = 1 \implies y = 1 - z$$ Llamamos $z = \lambda$, con $\lambda \in \mathbb{R}$: ✅ **Resultado (Solución):** $$\boxed{\begin{cases} x = -2\lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$