Cálculo de una primitiva mediante cambio de variable

Para hallar la primitiva $G(x)$ de la función $g(x)$, debemos calcular primero la integral indefinida: $$G(x) = \int g(x) \, dx = \int \frac{1}{x + \sqrt{x}} \, dx$$ Seguiremos la sugerencia del enunciado y aplicaremos el cambio de variable $t = \sqrt{x}$. 💡 **Tip:** Recuerda que una primitiva es una función cuya derivada es la función original. Al ser una integral indefinida, aparecerá una constante de integración $C$ que determinaremos después con el punto $P(1, 0)$.

Realizamos el cambio de variable propuesto: $$t = \sqrt{x} \implies t^2 = x$$ Derivamos ambos lados respecto a su variable para obtener la equivalencia de los diferenciales: $$2t \, dt = dx$$ Sustituimos $x = t^2$, $\sqrt{x} = t$ y $dx = 2t \, dt$ en la integral: $$\int \frac{1}{t^2 + t} \cdot 2t \, dt = \int \frac{2t}{t^2 + t} \, dt$$ Factorizamos el denominador para simplificar la expresión: $$\int \frac{2t}{t(t + 1)} \, dt = \int \frac{2}{t + 1} \, dt$$ 💡 **Tip:** Al realizar un cambio de variable, no olvides transformar también el diferencial $dx$. Es un error común olvidarse de este paso.

La integral resultante es de tipo logarítmico inmediato: $$\int \frac{2}{t + 1} \, dt = 2 \ln |t + 1| + C$$ Como el dominio de la función original es $(0, +\infty)$, tenemos que $t = \sqrt{x} > 0$, por lo que $t+1$ siempre es positivo y podemos prescindir del valor absoluto. Deshacemos el cambio de variable sustituyendo $t = \sqrt{x}$: $$G(x) = 2 \ln (\sqrt{x} + 1) + C$$ ✅ **Resultado de la integral indefinida:** $$\boxed{G(x) = 2 \ln (\sqrt{x} + 1) + C}$$

Se nos pide la primitiva que pasa por el punto $P(1, 0)$, lo que significa que $G(1) = 0$. Sustituimos $x = 1$ en la expresión de $G(x)$ e igualamos a $0$: $$2 \ln (\sqrt{1} + 1) + C = 0$$ $$2 \ln (2) + C = 0$$ Despejamos la constante $C$: $$C = -2 \ln(2)$$ 💡 **Tip:** También podrías expresar la constante como $C = -\ln(2^2) = -\ln(4)$ usando las propiedades de los logaritmos.

Sustituimos el valor de $C$ en la expresión de la primitiva: $$G(x) = 2 \ln (\sqrt{x} + 1) - 2 \ln (2)$$ Podemos simplificar la expresión utilizando la propiedad del logaritmo de un cociente, $\ln a - \ln b = \ln(a/b)$: $$G(x) = 2 \left[ \ln (\sqrt{x} + 1) - \ln (2) \right] = 2 \ln \left( \frac{\sqrt{x} + 1}{2} \right)$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{G(x) = 2 \ln \left( \frac{\sqrt{x} + 1}{2} \right)}$$