Estudio de asíntotas y rectas tangente y normal

**a) [1’25 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de $f$.** El dominio de la función viene dado por el enunciado: $D = (0, 1) \cup (1, +\infty)$. Analizamos los puntos donde la función no está definida o presenta problemas de continuidad. **Asíntotas Verticales:** Probamos en $x = 1$, ya que anula el denominador $\ln(x)$: $$\lim_{x \to 1^-} \frac{x}{\ln(x)} = \frac{1}{0^-} = -\infty$$ $$\lim_{x \to 1^+} \frac{x}{\ln(x)} = \frac{1}{0^+} = +\infty$$ Como los límites laterales son infinitos, existe una asíntota vertical en **$x = 1$**. 💡 **Tip:** Recuerda que para que exista una asíntota vertical en $x=a$, el límite de la función cuando $x \to a$ debe ser $\pm\infty$.

Analizamos qué ocurre cuando $x \to 0^+$ (extremo del dominio abierto): $$\lim_{x \to 0^+} \frac{x}{\ln(x)} = \frac{0}{-\infty} = 0$$ El límite es finito, por lo que **no hay asíntota vertical en $x = 0$**. La función tiende al punto $(0,0)$ pero no lo alcanza. ✅ **Resultado parcial (AV):** $$\boxed{x = 1}$$

Analizamos el comportamiento en $+\infty$: **Asíntotas Horizontales:** $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\ln(x)} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$$ Aplicamos la regla de L'Hôpital: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\ln(x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{1/x} = \lim_{x \to +\infty} x = +\infty$$ Como el límite es infinito, **no hay asíntota horizontal**. **Asíntotas Oblicuas ($y = mx + n$):** Calculamos la pendiente $m$: $$m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x \ln(x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\ln(x)} = \frac{1}{+\infty} = 0$$ Al obtener $m = 0$, estaríamos buscando una asíntota horizontal que ya hemos descartado. Por tanto, **no hay asíntota oblicua**. ✅ **Resultado final apartado a):** $$\boxed{\text{A. Vertical: } x = 1, \text{ A. Horizontal: No hay, A. Oblicua: No hay}}$$

**b) [1’25 puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = e$.** Primero, calculamos el punto de tangencia $(e, f(e))$: $$f(e) = \frac{e}{\ln(e)} = \frac{e}{1} = e \implies P(e, e)$$ Ahora calculamos la derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(x)' \cdot \ln(x) - x \cdot (\ln(x))'}{(\ln(x))^2} = \frac{1 \cdot \ln(x) - x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln(x))^2} = \frac{\ln(x) - 1}{(\ln(x))^2}$$ La pendiente de la recta tangente en $x = e$ es $m_t = f'(e)$: $$m_t = \frac{\ln(e) - 1}{(\ln(e))^2} = \frac{1 - 1}{1^2} = 0$$ 💡 **Tip:** La derivada evaluada en un punto nos da la pendiente de la recta tangente en dicho punto: $m_t = f'(a)$.

**Recta Tangente:** Usamos la fórmula punto-pendiente $y - f(a) = f'(a)(x - a)$: $$y - e = 0 \cdot (x - e) \implies y - e = 0 \implies y = e$$ **Recta Normal:** La pendiente de la normal es $m_n = -\frac{1}{f'(a)}$. Como $f'(e) = 0$, la recta normal es una recta vertical en el punto de abscisa $x = e$. $$x = e$$ 💡 **Tip:** Si la recta tangente es horizontal ($y = k$), la recta normal es vertical ($x = a$) siempre que pasen por el punto $(a, k)$. ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{\text{Recta tangente: } y = e, \text{ Recta normal: } x = e}$$