Simetría respecto a un plano y distancias

**a) [1’75 puntos] Halla la ecuación del plano $\pi$ respecto del cual $P$ y $Q$ son simétricos.** Para que dos puntos $P$ y $Q$ sean simétricos respecto a un plano $\pi$, dicho plano debe ser el **plano mediador** del segmento $PQ$. Esto implica dos condiciones geométricas: 1. El plano debe pasar por el **punto medio** $M$ del segmento $PQ$. 2. El vector $\vec{PQ}$ debe ser **perpendicular** al plano (es decir, es un vector normal al plano). Calculamos primero el punto medio $M$ de $P(2, 3, 1)$ y $Q(0, 1, 1)$: $$M = \left( \frac{x_P + x_Q}{2}, \frac{y_P + y_Q}{2}, \frac{z_P + z_Q}{2} \right) = \left( \frac{2+0}{2}, \frac{3+1}{2}, \frac{1+1}{2} \right) = (1, 2, 1).$$ 💡 **Tip:** El punto medio es el promedio aritmético de las coordenadas de los extremos. Es el punto exacto por donde el "espejo" (el plano) debe cortar al segmento.

El vector que une $P$ y $Q$ es perpendicular al plano $\pi$, por lo que nos sirve como vector normal $\vec{n}_{\pi}$. $$\vec{PQ} = Q - P = (0 - 2, 1 - 3, 1 - 1) = (-2, -2, 0).$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo por $-2$ para trabajar con números más sencillos (cualquier vector proporcional mantiene la misma dirección): $$\vec{n}_{\pi} = (1, 1, 0).$$ 💡 **Tip:** Si un vector normal es $(A, B, C)$, la ecuación del plano tiene la forma $Ax + By + Cz + D = 0$.

Utilizamos la forma general del plano con el vector normal $\vec{n}_{\pi} = (1, 1, 0)$: $$1 \cdot x + 1 \cdot y + 0 \cdot z + D = 0 \implies x + y + D = 0.$$ Como el plano debe pasar por el punto medio $M(1, 2, 1)$, sustituimos sus coordenadas en la ecuación para hallar $D$: $$1 + 2 + D = 0 \implies 3 + D = 0 \implies D = -3.$$ Por tanto, la ecuación del plano $\pi$ es: $$\boxed{x + y - 3 = 0}$$

**b) [0’75 puntos] Calcula la distancia de $P$ a $\pi$.** Utilizamos la fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$: $$d(P, \pi) = \frac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos $P(2, 3, 1)$ y el plano $x + y - 3 = 0$: $$d(P, \pi) = \frac{|1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 0 \cdot 1 - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{|2 + 3 - 3|}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}}.$$ Racionalizando el resultado: $$d(P, \pi) = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}.$$ 💡 **Tip:** Geométricamente, la distancia de $P$ a $\pi$ debe ser exactamente la mitad de la distancia entre $P$ y $Q$, ya que $\pi$ es el plano que los divide a la mitad. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{d(P, \pi) = \sqrt{2} \text{ unidades}}$$