Potencias de matrices e inversa

**a) [1’5 puntos] Comprueba que $A^2 = 2I$ y calcula $A^{-1}$.** Primero calculamos el producto de la matriz $A$ por sí misma: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ Realizamos la multiplicación fila por columna: $$A^2 = \begin{pmatrix} (1)(1) + (1)(1) & (1)(1) + (1)(-1) \\ (1)(1) + (-1)(1) & (1)(1) + (-1)(-1) \end{pmatrix}$$ $$A^2 = \begin{pmatrix} 1 + 1 & 1 - 1 \\ 1 - 1 & 1 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Como la matriz identidad de orden 2 es $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, observamos que: $$A^2 = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 2I$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, multiplicamos los elementos de las filas de la primera por los de las columnas de la segunda y sumamos los resultados. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^2 = 2I}$$

Para calcular $A^{-1}$, aprovechamos la relación obtenida anteriormente: $A^2 = 2I$. Por definición, una matriz $B$ es la inversa de $A$ si $A \cdot B = I$. Manipulamos la expresión: $$A \cdot A = 2I$$ Dividimos ambos miembros por $2$ (o multiplicamos por $1/2$): $$A \cdot \left( \frac{1}{2} A \right) = I$$ Por comparación con la definición $A \cdot A^{-1} = I$, deducimos que: $$A^{-1} = \frac{1}{2} A$$ Sustituimos la matriz $A$: $$A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Siempre que te pidan calcular la inversa después de demostrar una igualdad matricial, intenta despejar $I$ para encontrar la inversa de forma directa sin usar determinantes ni adjuntos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 0,5 & 0,5 \\ 0,5 & -0,5 \end{pmatrix}}$$

**b) [1 punto] Calcula $A^{2013}$ y su inversa.** Buscamos una pauta en las potencias de $A$ basándonos en $A^2 = 2I$: - $A^1 = A$ - $A^2 = 2I$ - $A^3 = A^2 \cdot A = (2I) \cdot A = 2A$ - $A^4 = (A^2)^2 = (2I)^2 = 4I = 2^2 I$ - $A^5 = A^4 \cdot A = 2^2 A$ Observamos que para potencias pares $A^{2n} = 2^n I$ y para impares $A^{2n+1} = 2^n A$. Como el exponente es $2013$, que es impar, lo escribimos como $2013 = 2012 + 1 = 2 \cdot 1006 + 1$: $$A^{2013} = A^{2012} \cdot A = (A^2)^{1006} \cdot A$$ $$A^{2013} = (2I)^{1006} \cdot A = 2^{1006} I \cdot A = 2^{1006} A$$ Sustituyendo $A$: $$A^{2013} = 2^{1006} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2^{1006} & 2^{1006} \\ 2^{1006} & -2^{1006} \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{2013} = 2^{1006} A}$$

Para hallar $(A^{2013})^{-1}$, utilizamos la expresión obtenida: $A^{2013} = 2^{1006} A$. Aplicamos las propiedades de la inversa, concretamente que $(k \cdot M)^{-1} = \frac{1}{k} M^{-1}$: $$(A^{2013})^{-1} = (2^{1006} A)^{-1} = \frac{1}{2^{1006}} A^{-1}$$ Como en el apartado (a) vimos que $A^{-1} = \frac{1}{2} A$, sustituimos: $$(A^{2013})^{-1} = \frac{1}{2^{1006}} \left( \frac{1}{2} A \right) = \frac{1}{2^{1007}} A$$ En forma matricial: $$(A^{2013})^{-1} = \frac{1}{2^{1007}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2^{-1007} & 2^{-1007} \\ 2^{-1007} & -2^{-1007} \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** No es necesario realizar cálculos complejos; utiliza siempre las propiedades de las potencias y de las inversas: $(A^n)^{-1} = (A^{-1})^n$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{(A^{2013})^{-1} = \frac{1}{2^{1007}} A}$$