Primitiva de una función logarítmica

Para hallar la primitiva de la función $g(x) = \ln(x^2 + 1)$, debemos calcular su integral indefinida: $$G(x) = \int \ln(x^2 + 1) \, dx$$ Este tipo de integrales, donde aparece un logaritmo solo, suelen resolverse mediante el método de **integración por partes**. 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla mnemotécnica común es "Un Día Vi Una Vaca Vestida De Uniforme".

Elegimos las partes de la siguiente manera: - $u = \ln(x^2 + 1) \implies du = \dfrac{2x}{x^2 + 1} \, dx$ - $dv = dx \implies v = x$ Aplicamos la fórmula: $$\int \ln(x^2 + 1) \, dx = x \ln(x^2 + 1) - \int x \cdot \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx$$ $$\int \ln(x^2 + 1) \, dx = x \ln(x^2 + 1) - \int \frac{2x^2}{x^2 + 1} \, dx$$ Ahora debemos resolver la integral racional resultante: $\int \dfrac{2x^2}{x^2 + 1} \, dx$.

Como el grado del numerador es igual al grado del denominador, realizamos la división de polinomios o ajustamos el numerador: $$\frac{2x^2}{x^2 + 1} = \frac{2x^2 + 2 - 2}{x^2 + 1} = \frac{2(x^2 + 1) - 2}{x^2 + 1} = 2 - \frac{2}{x^2 + 1}$$ Calculamos la integral término a término: $$\int \left( 2 - \frac{2}{x^2 + 1} \right) dx = 2x - 2 \arctan(x)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la integral de $\dfrac{1}{1+x^2}$ es la función arco tangente, una de las integrales inmediatas más comunes.

Sustituimos el resultado anterior en la expresión de la integración por partes: $$G(x) = x \ln(x^2 + 1) - [2x - 2 \arctan(x)] + C$$ $$G(x) = x \ln(x^2 + 1) - 2x + 2 \arctan(x) + C$$ Esta es la familia de todas las primitivas de la función $g(x)$. Ahora debemos encontrar el valor de la constante $C$ usando el dato del enunciado.

El enunciado indica que la gráfica de la primitiva pasa por el **origen de coordenadas**, es decir, por el punto $(0, 0)$. Por tanto, se debe cumplir que $G(0) = 0$: $$G(0) = 0 \cdot \ln(0^2 + 1) - 2(0) + 2 \arctan(0) + C = 0$$ $$0 \cdot \ln(1) - 0 + 2(0) + C = 0$$ $$0 - 0 + 0 + C = 0 \implies C = 0$$ Sustituyendo $C=0$ en la expresión general, obtenemos la primitiva buscada: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{G(x) = x \ln(x^2 + 1) - 2x + 2 \arctan(x)}$$