Derivabilidad de una función a trozos y rectas tangente y normal

**a) [1’5 puntos] Determina $a$ y $b$ sabiendo que $f$ es derivable en todo su dominio.** Para que la función sea derivable en todo su dominio, primero debe ser continua en el punto de salto entre las ramas, que es $x = 0$. Calculamos los límites laterales y el valor de la función en $x = 0$: 1. Valor de la función: $f(0) = 0 + 2e^{-0} = 2$. 2. Límite por la izquierda ($x \to 0^-$): $$\lim_{x \to 0^-} (x + 2e^{-x}) = 0 + 2e^0 = 2.$$ 3. Límite por la derecha ($x \to 0^+$): $$\lim_{x \to 0^+} a\sqrt{b - x} = a\sqrt{b - 0} = a\sqrt{b}.$$ Para que $f$ sea continua en $x = 0$, los tres valores deben coincidir: $$a\sqrt{b} = 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivabilidad implica continuidad. Si una función no es continua en un punto, es imposible que sea derivable en él.

Una vez impuesta la continuidad, calculamos la derivada de la función en las regiones abiertas: $$f'(x) = \begin{cases} 1 - 2e^{-x} & \text{si } x < 0, \\ a \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{b - x}} \cdot (-1) = \dfrac{-a}{2\sqrt{b - x}} & \text{si } 0 < x < 1. \end{cases}$$ Para que $f$ sea derivable en $x = 0$, las derivadas laterales deben ser iguales: 1. Derivada lateral izquierda: $f'(0^-) = 1 - 2e^{-0} = 1 - 2 = -1$. 2. Derivada lateral derecha: $f'(0^+) = \dfrac{-a}{2\sqrt{b - 0}} = \dfrac{-a}{2\sqrt{b}}$. Igualamos ambas expresiones: $$\dfrac{-a}{2\sqrt{b}} = -1 \implies \dfrac{a}{2\sqrt{b}} = 1 \implies a = 2\sqrt{b}$$

Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones con $a$ y $b$: 1. $a\sqrt{b} = 2$ 2. $a = 2\sqrt{b}$ Sustituimos la segunda ecuación en la primera: $$(2\sqrt{b}) \cdot \sqrt{b} = 2 \implies 2b = 2 \implies b = 1.$$ Ahora calculamos $a$ sustituyendo $b = 1$ en la segunda ecuación: $$a = 2\sqrt{1} = 2.$$ Como el dominio de la segunda rama es $0 < x < 1$ y $b=1$, la expresión $\sqrt{1-x}$ está definida positivamente. ✅ **Resultado final del apartado a):** $$\boxed{a = 2, \quad b = 1}$$

**b) [1 punto] Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$.** Para $a=2$ y $b=1$, ya sabemos que $f(0) = 2$ y $f'(0) = -1$ (calculados en el apartado anterior). La ecuación de la recta tangente en $x = x_0$ es: $$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$$ Sustituimos $x_0 = 0$, $f(0) = 2$ y $f'(0) = -1$: $$y - 2 = -1(x - 0) \implies y = -x + 2.$$ 💡 **Tip:** La pendiente de la recta tangente coincide siempre con el valor de la derivada en dicho punto.

La ecuación de la recta normal en $x = x_0$ es: $$y - f(x_0) = \frac{-1}{f'(x_0)}(x - x_0)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$y - 2 = \frac{-1}{-1}(x - 0) \implies y - 2 = 1 \cdot x \implies y = x + 2.$$ ✅ **Resultado final del apartado b):** $$\boxed{\text{Recta tangente: } y = -x + 2, \quad \text{Recta normal: } y = x + 2}$$