Paralelismo y distancia entre rectas en el espacio

**a) [1 punto] Calcula los valores de $a$ para los que $r$ y $s$ son paralelas.** Primero, identificamos el punto y el vector director de la recta $r$: - Punto $P_r = (1, 0, 0)$ - Vector director $\vec{v}_r = (a, 2a, 1)$ Para la recta $s$, que viene dada como intersección de dos planos, el vector director $\vec{v}_s$ se puede obtener realizando el producto vectorial de los vectores normales a dichos planos $\vec{n}_1 = (-2, 1, 0)$ y $\vec{n}_2 = (-a, 0, 1)$: $$\vec{v}_s = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 1 & 0 \\ -a & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por Sarrus: $$\vec{v}_s = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) \vec{i} - (-2 \cdot 1 - 0 \cdot (-a)) \vec{j} + (-2 \cdot 0 - 1 \cdot (-a)) \vec{k}$$ $$\vec{v}_s = 1\vec{i} + 2\vec{j} + a\vec{k} = (1, 2, a)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta definida por la intersección de dos planos es perpendicular a los vectores normales de ambos planos.

Para que las rectas $r$ y $s$ sean paralelas, sus vectores directores $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$ deben ser proporcionales: $$\frac{a}{1} = \frac{2a}{2} = \frac{1}{a}$$ De la primera igualdad obtenemos $a = a$, lo cual se cumple siempre. De la relación entre la primera y la tercera componente: $$a = \frac{1}{a} \implies a^2 = 1 \implies a = \pm 1$$ Debemos comprobar que para estos valores las rectas no son coincidentes. Si $a=1$: - $P_r = (1, 0, 0)$ Sustituimos $P_r$ en las ecuaciones de $s$: $$\begin{cases} -2(1) + 0 = -2 \\ -1(1) + 0 = -1 \neq 0 \end{cases}$$ Como el punto no cumple la segunda ecuación, las rectas no son coincidentes para $a=1$. Si $a=-1$: - $P_r = (1, 0, 0)$ Sustituimos en $s$ con $a=-1$: $$\begin{cases} -2(1) + 0 = -2 \\ -(-1)(1) + 0 = 1 \neq 0 \end{cases}$$ ✅ **Resultado (valores de $a$):** $$\boxed{a = 1 \quad \text{y} \quad a = -1}$$

**b) [1’5 puntos] Calcula, para $a = 1$, la distancia entre $r$ y $s$.** Si $a = 1$, las rectas son paralelas. Los datos son: - Recta $r$: $P_r(1, 0, 0)$ y $\vec{v}_r = (1, 2, 1)$ - Recta $s$: $\vec{v}_s = (1, 2, 1)$ y buscamos un punto $P_s$ dándole un valor a una variable en su sistema: Si $x=0$: $$\begin{cases} -2(0) + y = -2 \implies y = -2 \\ -(0) + z = 0 \implies z = 0 \end{cases} \implies P_s(0, -2, 0)$$ Calculamos el vector $\vec{P_s P_r} = (1-0, 0-(-2), 0-0) = (1, 2, 0)$.

La distancia entre dos rectas paralelas es la distancia de un punto de una de ellas a la otra recta. La fórmula es: $$d(r, s) = d(P_r, s) = \frac{|\vec{P_s P_r} \times \vec{v}_s|}{|\vec{v}_s|}$$ Calculamos el producto vectorial: $$\vec{P_s P_r} \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (2-0)\vec{i} - (1-0)\vec{j} + (2-2)\vec{k} = (2, -1, 0)$$ Ahora calculamos los módulos: - $|\vec{P_s P_r} \times \vec{v}_s| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ - $|\vec{v}_s| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$ Por tanto: $$d(r, s) = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{5}{6}} = \frac{\sqrt{30}}{6} \text{ unidades}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la distancia entre rectas paralelas se reduce a la distancia de un punto a una recta. No uses la fórmula de distancia entre rectas que se cruzan si el denominador es cero. ✅ **Resultado (distancia):** $$\boxed{d(r, s) = \frac{\sqrt{30}}{6} \approx 0.913 \text{ u.l.}}$$