Estudio del rango e independencia lineal de una matriz con parámetros

**a) [0’75 puntos] Determina los valores de $m$ para los que los vectores fila de $M$ son linealmente independientes.** Los vectores fila de una matriz cuadrada son linealmente independientes si y solo si el determinante de la matriz es distinto de cero. Procedemos a calcular el determinante de $M$ mediante la regla de Sarrus: $$|M| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m + 1 & 0 \\ 1 & 1 & m - 1 \end{vmatrix}$$ $$|M| = [1 \cdot (m + 1) \cdot (m - 1) + 0 \cdot 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 \cdot 1] - [(-1) \cdot (m + 1) \cdot 1 + 0 \cdot 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \cdot (m - 1)]$$ Operamos los términos: $$|M| = (m + 1)(m - 1) - [-(m + 1)] = m^2 - 1 + m + 1 = m^2 + m$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para matrices de orden 3, el determinante se calcula sumando el producto de los elementos de la diagonal principal y sus paralelas, y restando el producto de los elementos de la diagonal secundaria y las suyas.

Para que los vectores sean linealmente independientes, buscamos los valores que hacen $|M| \neq 0$: $$m^2 + m = 0 \implies m(m + 1) = 0$$ Esto nos da dos raíces: 1. $m = 0$ 2. $m = -1$ Por lo tanto, los vectores fila son linealmente independientes para todos los valores de $m$ excepto $0$ y $-1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m \in \mathbb{R} \setminus \{0, -1\}}$$

**b) [1 punto] Estudia el rango de $M$ según los valores de $m$.** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Basándonos en el determinante calculado anteriormente, distinguimos los siguientes casos: **Caso 1: $m \neq 0$ y $m \neq -1$** Si $m$ no es ni $0$ ni $-1$, entonces $|M| \neq 0$. Por definición, el rango de la matriz es igual a su dimensión. $$\text{rg}(M) = 3$$ **Caso 2: $m = 0$** Sustituimos $m=0$ en la matriz: $$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$ Como $|M|=0$, el rango es menor que 3. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \implies \text{rg}(M) = 2$$ 💡 **Tip:** Si el determinante de una matriz $3 \times 3$ es 0, el rango puede ser 2, 1 o 0 (solo si la matriz es nula).

**Caso 3: $m = -1$** Sustituimos $m = -1$ en la matriz: $$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$$ Observamos que la segunda fila es nula, por lo que el determinante es cero. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \implies \text{rg}(M) = 2$$ ✅ **Resultado final del rango:** $$\boxed{\begin{cases} \text{si } m \neq 0, -1 & \text{rg}(M) = 3 \\ \text{si } m = 0 \text{ o } m = -1 & \text{rg}(M) = 2 \end{cases}}$$

**c) [0’75 puntos] Para $m = 1$, calcula la inversa de $M$.** Para $m = 1$, la matriz es: $$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante sustituyendo en la expresión $|M| = m^2 + m$: $$|M| = 1^2 + 1 = 2$$ Como $|M| \neq 0$, la matriz es invertible. Usaremos la fórmula $M^{-1} = \dfrac{1}{|M|} \text{Adj}(M)^T$. Calculamos los adjuntos de los elementos de $M$ ($A_{ij}$): - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -2$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 2$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2$ 💡 **Tip:** El adjunto $A_{ij}$ se calcula como $(-1)^{i+j}$ multiplicado por el determinante del menor complementario.

Escribimos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(M)$: $$\text{Adj}(M) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 \\ -1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Calculamos la traspuesta de la matriz de adjuntos: $$\text{Adj}(M)^T = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$ Finalmente, dividimos por el determinante $|M| = 2$: $$M^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1/2 & 1 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ -1 & -1/2 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{M^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1/2 & 1 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ -1 & -1/2 & 1 \end{pmatrix}}$$