Área entre el valor absoluto de una parábola y una recta

**a) [1’25 puntos] Esboza las gráficas de $f$ y $g$ sobre los mismos ejes. Calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.** Para poder trabajar con la función $f(x) = |x(x-2)| = |x^2 - 2x|$, debemos expresarla como una función definida a trozos eliminando el valor absoluto. Primero, estudiamos el signo del polinomio interior $p(x) = x^2 - 2x$. Sus raíces son $x=0$ y $x=2$. El signo es positivo en $(-\infty, 0] \cup [2, +\infty)$ y negativo en $(0, 2)$. Por tanto: $$f(x)=\begin{cases} x^2 - 2x & \text{si } x \le 0,\\ -x^2 + 2x & \text{si } 0 < x < 2,\\ x^2 - 2x & \text{si } x \ge 2. \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $|h(x)| = h(x)$ si $h(x) \ge 0$ y $|h(x)| = -h(x)$ si $h(x) < 0$.

Para hallar los puntos de corte entre $f(x)$ y $g(x)$, igualamos ambas funciones en sus respectivos intervalos: **1. Si $x \in (-\infty, 0] \cup [2, +\infty)$:** $$x^2 - 2x = x + 4 \implies x^2 - 3x - 4 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \implies x_1 = 4, \, x_2 = -1$$ Ambas soluciones son válidas ya que $4 \ge 2$ y $-1 \le 0$. **2. Si $x \in (0, 2)$:** $$-x^2 + 2x = x + 4 \implies x^2 - x + 4 = 0$$ El discriminante es $\Delta = 1 - 16 = -15 < 0$, por lo que no hay soluciones reales en este intervalo. Calculamos las ordenadas de los puntos de corte usando $g(x) = x + 4$: - Para $x = -1 \implies g(-1) = 3$. - Para $x = 4 \implies g(4) = 8$. ✅ **Puntos de corte:** $$\boxed{(-1, 3) \text{ y } (4, 8)}$$

La función $g(x) = x + 4$ representa una recta. La función $f(x) = |x^2-2x|$ es una parábola con el tramo central (entre sus raíces) reflejado hacia arriba. Representamos ambas funciones destacando los puntos de corte calculados:

**b) [1’25 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de $f$ y $g$.** El área se calcula integrando la diferencia entre la función superior (recta $g$) y la función inferior ($f$) entre los límites de corte $x=-1$ y $x=4$. Debido a que $f$ está definida a trozos, dividimos la integral en tres partes: $$A = \int_{-1}^{4} (g(x) - f(x)) \, dx = I_1 + I_2 + I_3$$ Donde: 1. $I_1 = \int_{-1}^{0} (x + 4 - (x^2 - 2x)) \, dx$ 2. $I_2 = \int_{0}^{2} (x + 4 - (-x^2 + 2x)) \, dx$ 3. $I_3 = \int_{2}^{4} (x + 4 - (x^2 - 2x)) \, dx$ 💡 **Tip:** El área siempre es la integral de $\text{arriba} - \text{abajo}$.

Calculamos cada parte de forma independiente: **Primera parte ($I_1$):** $$I_1 = \int_{-1}^{0} (-x^2 + 3x + 4) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 4x \right]_{-1}^{0}$$ $$I_1 = (0) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 4 \right) = -\left( \frac{2 + 9 - 24}{6} \right) = \frac{13}{6}$$ **Segunda parte ($I_2$):** $$I_2 = \int_{0}^{2} (x^2 - x + 4) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 4x \right]_{0}^{2}$$ $$I_2 = \left( \frac{8}{3} - 2 + 8 \right) - (0) = \frac{8}{3} + 6 = \frac{26}{3} = \frac{52}{6}$$ **Tercera parte ($I_3$):** $$I_3 = \int_{2}^{4} (-x^2 + 3x + 4) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 4x \right]_{2}^{4}$$ $$I_3 = \left( -\frac{64}{3} + 24 + 16 \right) - \left( -\frac{8}{3} + 6 + 8 \right) = \frac{56}{3} - \frac{34}{3} = \frac{22}{3} = \frac{44}{6}$$ 💡 **Tip:** Ten mucho cuidado con los signos al aplicar la Regla de Barrow: $F(b) - F(a)$.

Sumamos los resultados de las tres integrales para obtener el área total: $$A = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{13}{6} + \frac{52}{6} + \frac{44}{6} = \frac{109}{6} \text{ unidades}^2$$ Como decimal aproximado, $A \approx 18.17 \text{ u}^2$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{109}{6} \text{ u}^2}$$