Límite con parámetro y regla de L'Hôpital

Para que el límite de un cociente sea finito cuando el denominador tiende a cero, el numerador también debe tender a cero necesariamente (obteniendo una indeterminación de tipo $\frac{0}{0}$). Si el numerador tendiera a un número distinto de cero, el límite sería infinito. Evaluamos el límite del numerador cuando $x \to 0$: $$\lim_{x \to 0} (x \cos(x) + b \operatorname{sen}(x)) = 0 \cdot \cos(0) + b \cdot \operatorname{sen}(0) = 0 + 0 = 0.$$ Como el numerador es $0$ independientemente del valor de $b$, tenemos una indeterminación de la forma $\frac{0}{0}$. Aplicamos la **regla de L'Hôpital** para resolverla. 💡 **Tip:** Recuerda que la regla de L'Hôpital nos dice que $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ si existe el segundo límite y se cumplen las condiciones de continuidad y derivabilidad.

Derivamos el numerador y el denominador por separado: - Numerador: $(x \cos(x) + b \operatorname{sen}(x))' = 1 \cdot \cos(x) + x(-\operatorname{sen}(x)) + b \cos(x) = (1+b)\cos(x) - x \operatorname{sen}(x)$ - Denominador: $(x^3)' = 3x^2$ El límite queda: $$\lim_{x \to 0} \frac{x \cos(x) + b \operatorname{sen}(x)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{(1+b)\cos(x) - x \operatorname{sen}(x)}{3x^2}$$ Al evaluar de nuevo en $x=0$, el denominador es $3(0)^2 = 0$. Para que el límite siga siendo finito, el numerador debe ser obligatoriamente $0$ en $x=0$.

Igualamos el límite del nuevo numerador a cero para evitar que el resultado sea infinito: $$\lim_{x \to 0} [(1+b)\cos(x) - x \operatorname{sen}(x)] = 0$$ $$(1+b)\cos(0) - 0 \cdot \operatorname{sen}(0) = 0$$ $$(1+b) \cdot 1 - 0 = 0$$ $$1 + b = 0 \implies \mathbf{b = -1}$$ ✅ **Resultado (parámetro b):** $$\boxed{b = -1}$$ 💡 **Tip:** Si el numerador no fuera cero, el límite sería del tipo $k/0$, lo que daría como resultado $\infty$, contradiciendo el enunciado.

Sustituimos $b = -1$ en la expresión del límite tras la primera derivada: $$\lim_{x \to 0} \frac{(1-1)\cos(x) - x \operatorname{sen}(x)}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-x \operatorname{sen}(x)}{3x^2}$$ Simplificamos la expresión dividiendo entre $x$ (ya que $x \neq 0$): $$\lim_{x \to 0} \frac{-\operatorname{sen}(x)}{3x}$$ Esta expresión vuelve a ser una indeterminación $\frac{0}{0}$. Aplicamos L'Hôpital por segunda vez o usamos el límite notable $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x} = 1$: $$\lim_{x \to 0} \frac{-\operatorname{sen}(x)}{3x} = \lim_{x \to 0} \frac{(-\operatorname{sen}(x))'}{(3x)'} = \lim_{x \to 0} \frac{-\cos(x)}{3}$$ Finalmente, evaluamos el límite: $$\frac{-\cos(0)}{3} = \frac{-1}{3}$$ ✅ **Resultado (valor del límite):** $$\boxed{L = -\frac{1}{3}}$$