Recta que corta a otras dos y es paralela a una tercera

Para resolver el problema, primero necesitamos extraer un punto y un vector director de cada una de las rectas proporcionadas en el enunciado. - **Recta $r$**: Está en forma continua implícita $x=y=z$. En paramétricas sería: $r \equiv \begin{cases} x = \alpha \\ y = \alpha \\ z = \alpha \end{cases} \implies \text{Punto } P_r(0,0,0), \text{ Vector } \vec{v}_r = (1, 1, 1)$ - **Recta $s$**: Viene dada como intersección de dos planos. Podemos parametrizarla usando $z$ como parámetro $\beta$: $s \equiv \begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \\ z = \beta \end{cases} \implies \text{Punto } P_s(2, 1, 0), \text{ Vector } \vec{v}_s = (0, 0, 1)$ - **Recta $t$**: Ya viene dada en forma paramétrica: $t \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = 3\lambda \\ z = -1 + \lambda \end{cases} \implies \text{Vector director } \vec{v}_t = (2, 3, 1)$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una recta sea paralela a otra, su vector director debe ser el mismo o uno proporcional.

Sea $L$ la recta que buscamos. Como $L$ corta a $r$ y a $s$, existirán un punto $A$ en $r$ y un punto $B$ en $s$ tales que la recta $L$ pase por ambos. Utilizamos las ecuaciones paramétricas obtenidas en el paso anterior para definir puntos genéricos: - Un punto genérico de $r$ es $A(\alpha, \alpha, \alpha)$. - Un punto genérico de $s$ es $B(2, 1, \beta)$. El vector director de la recta buscada $L$ será el vector que une estos dos puntos: $$\vec{AB} = B - A = (2 - \alpha, 1 - \alpha, \beta - \alpha)$$

El enunciado indica que la recta $L$ debe ser paralela a $t$. Por tanto, el vector $\vec{AB}$ debe ser proporcional al vector director de $t$, $\vec{v}_t = (2, 3, 1)$. $$\vec{AB} = k \cdot \vec{v}_t \implies (2 - \alpha, 1 - \alpha, \beta - \alpha) = k \cdot (2, 3, 1)$$ Esto nos da el siguiente sistema de ecuaciones basado en la proporcionalidad de las componentes: $$\frac{2 - \alpha}{2} = \frac{1 - \alpha}{3} = \frac{\beta - \alpha}{1}$$ 💡 **Tip:** Dos vectores son paralelos si sus coordenadas son proporcionales, es decir, $\frac{u_x}{v_x} = \frac{u_y}{v_y} = \frac{u_z}{v_z}$.

Resolvemos primero la igualdad de las dos primeras fracciones para encontrar $\alpha$: $$\frac{2 - \alpha}{2} = \frac{1 - \alpha}{3}$$ Multiplicamos en cruz: $$3(2 - \alpha) = 2(1 - \alpha)$$ $$6 - 3\alpha = 2 - 2\alpha$$ $$6 - 2 = 3\alpha - 2\alpha$$ $$\alpha = 4$$ Ahora sustituimos $\alpha = 4$ en la relación con la tercera componente para hallar $\beta$: $$\frac{2 - 4}{2} = \frac{\beta - 4}{1}$$ $$\frac{-2}{2} = \beta - 4$$ $$-1 = \beta - 4 \implies \beta = 3$$ Sustituyendo estos valores obtenemos los puntos de corte: - Punto $A = (4, 4, 4)$ - Punto $B = (2, 1, 3)$

Ya tenemos un punto por el que pasa la recta (podemos elegir $A$) y sabemos que su vector director debe ser el de la recta $t$, ya que es paralela a ella: $\vec{v}_t = (2, 3, 1)$. Usamos la forma continua para expresar la recta final: $$L \equiv \frac{x - 4}{2} = \frac{y - 4}{3} = \frac{z - 4}{1}$$ También podemos darla en forma paramétrica: $$L \equiv \begin{cases} x = 4 + 2μ \\ y = 4 + 3μ \\ z = 4 + μ \end{cases}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{L \equiv \frac{x - 4}{2} = \frac{y - 4}{3} = z - 4}$$