Propiedades de los determinantes

**a) [1 punto] $\det(-2A)$ y $\det(A^{-1})$.** Para calcular $\det(-2A)$, utilizamos la propiedad que dice que si multiplicamos una matriz de orden $n$ por un número real $k$, el determinante de la nueva matriz es $k^n$ veces el determinante de la matriz original. En este caso, la matriz $A$ es de orden $3$ (tiene 3 filas y 3 columnas), y el escalar es $k = -2$. Por tanto: $$\det(-2A) = (-2)^3 \cdot \det(A)$$ Sustituimos el valor de $\det(A) = 4$: $$\det(-2A) = -8 \cdot 4 = -32$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\det(k \cdot A) = k^n \cdot \det(A)$, donde $n$ es la dimensión de la matriz cuadrada. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\det(-2A) = -32}$$

Para calcular el determinante de la matriz inversa $\det(A^{-1})$, utilizamos la propiedad que relaciona el determinante de una matriz con el de su inversa: $$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$$ Como sabemos que $\det(A) = 4$, simplemente sustituimos: $$\det(A^{-1}) = \frac{1}{4} = 0.25$$ 💡 **Tip:** Esta propiedad se deriva de $\det(A \cdot A^{-1}) = \det(I) = 1$ y de que el determinante del producto es el producto de los determinantes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\det(A^{-1}) = \frac{1}{4}}$$

**b) [1’5 puntos] $\begin{vmatrix} a & -b & c \\ 2d & -2e & 2f \\ p & -q & r \end{vmatrix}$ y $\begin{vmatrix} -3d & -3e & -3f \\ a & b & c \\ -p & -q & -r \end{vmatrix}$** Vamos a transformar el primer determinante aplicando propiedades hasta obtener el determinante de $A$. 1. En primer lugar, observamos que la segunda fila ($F_2$) tiene un factor común $2$. Podemos extraerlo fuera del determinante: $$\begin{vmatrix} a & -b & c \\ 2d & -2e & 2f \\ p & -q & r \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} a & -b & c \\ d & -e & f \\ p & -q & r \end{vmatrix}$$ 2. Ahora observamos que la segunda columna ($C_2$) tiene un factor común $-1$. Lo extraemos también: $$2 \cdot (-1) \cdot \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ p & q & r \end{vmatrix} = -2 \cdot \det(A)$$ 3. Sustituimos el valor de $\det(A) = 4$: $$-2 \cdot 4 = -8$$ 💡 **Tip:** Si todos los elementos de una fila o columna se multiplican por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{vmatrix} a & -b & c \\ 2d & -2e & 2f \\ p & -q & r \end{vmatrix} = -8}$$

Para el segundo determinante, realizamos los siguientes pasos: 1. Extraemos el factor $-3$ de la primera fila ($F_1$): $$\begin{vmatrix} -3d & -3e & -3f \\ a & b & c \\ -p & -q & -r \end{vmatrix} = -3 \cdot \begin{vmatrix} d & e & f \\ a & b & c \\ -p & -q & -r \end{vmatrix}$$ 2. Extraemos el factor $-1$ de la tercera fila ($F_3$): $$-3 \cdot (-1) \cdot \begin{vmatrix} d & e & f \\ a & b & c \\ p & q & r \end{vmatrix} = 3 \cdot \begin{vmatrix} d & e & f \\ a & b & c \\ p & q & r \end{vmatrix}$$ 3. Intercambiamos la primera fila ($F_1$) con la segunda fila ($F_2$). Al intercambiar dos filas, el determinante cambia de signo: $$3 \cdot (-1) \cdot \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ p & q & r \end{vmatrix} = -3 \cdot \det(A)$$ 4. Finalmente, sustituimos $\det(A) = 4$: $$-3 \cdot 4 = -12$$ 💡 **Tip:** El intercambio de dos filas o columnas adyacentes (o no) siempre provoca un cambio de signo en el valor del determinante. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{vmatrix} -3d & -3e & -3f \\ a & b & c \\ -p & -q & -r \end{vmatrix} = -12}$$