Integral definida de una función racional

Para calcular la integral definida $\int_{2}^{4} \frac{x^2}{x^2 - 6x + 5} dx$, observamos que se trata de una función racional donde el grado del numerador es igual al grado del denominador ($2=2$). El primer paso es realizar la división polinómica para descomponer la fracción: $$\begin{array}{r|l} x^2 & x^2 - 6x + 5 \\ \hline -x^2 + 6x - 5 & 1 \\ \hline 6x - 5 & \end{array}$$ Esto nos permite escribir la fracción como: $$\frac{x^2}{x^2 - 6x + 5} = 1 + \frac{6x - 5}{x^2 - 6x + 5}$$ 💡 **Tip:** Siempre que el grado del numerador sea mayor o igual al del denominador, empieza realizando la división de polinomios: $\frac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}$.

Ahora descomponemos la fracción $\frac{6x - 5}{x^2 - 6x + 5}$ en fracciones simples. Primero factorizamos el denominador resolviendo $x^2 - 6x + 5 = 0$: $$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2} \implies x_1 = 5, \; x_2 = 1$$ Por tanto, $x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5)$. Planteamos la descomposición: $$\frac{6x - 5}{(x - 1)(x - 5)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 5}$$ Multiplicando por el denominador común: $$6x - 5 = A(x - 5) + B(x - 1)$$ Calculamos los coeficientes: - Si $x = 1 \implies 6(1) - 5 = A(1 - 5) \implies 1 = -4A \implies A = -\frac{1}{4}$ - Si $x = 5 \implies 6(5) - 5 = B(5 - 1) \implies 25 = 4B \implies B = \frac{25}{4}$ La integral indefinida queda: $$\int \left( 1 - \frac{1/4}{x - 1} + \frac{25/4}{x - 5} \right) dx$$

Integramos cada término por separado: $$\int 1 \, dx - \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 1} \, dx + \frac{25}{4} \int \frac{1}{x - 5} \, dx$$ Obtenemos la primitiva $F(x)$: $$F(x) = x - \frac{1}{4} \ln|x - 1| + \frac{25}{4} \ln|x - 5|$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{1}{x+a} dx = \ln|x+a| + C$. No olvides los valores absolutos en el logaritmo, aunque en el intervalo de integración $[2,4]$ comprobaremos los signos.

Aplicamos la Regla de Barrow evaluando en los límites de integración $x=2$ y $x=4$: $$\int_{2}^{4} f(x) dx = F(4) - F(2)$$ Calculamos $F(4)$: $$F(4) = 4 - \frac{1}{4} \ln|4 - 1| + \frac{25}{4} \ln|4 - 5| = 4 - \frac{1}{4} \ln 3 + \frac{25}{4} \ln 1$$ Como $\ln 1 = 0$, tenemos: $$F(4) = 4 - \frac{1}{4} \ln 3$$ Calculamos $F(2)$: $$F(2) = 2 - \frac{1}{4} \ln|2 - 1| + \frac{25}{4} \ln|2 - 5| = 2 - \frac{1}{4} \ln 1 + \frac{25}{4} \ln 3$$ $$F(2) = 2 + \frac{25}{4} \ln 3$$ Restamos ambos resultados: $$I = \left( 4 - \frac{1}{4} \ln 3 \right) - \left( 2 + \frac{25}{4} \ln 3 \right) = 4 - 2 - \frac{1}{4} \ln 3 - \frac{25}{4} \ln 3$$ $$I = 2 - \frac{26}{4} \ln 3 = 2 - \frac{13}{2} \ln 3$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{2 - \dfrac{13}{2} \ln 3}$$