Cálculo de parámetros de una función cúbica

Para resolver este ejercicio, necesitamos utilizar la información sobre el punto de inflexión y el mínimo relativo. Esto implica trabajar con la primera y segunda derivada de la función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$. Calculamos la primera derivada (para extremos relativos): $$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$$ Calculamos la segunda derivada (para puntos de inflexión): $$f''(x) = 6x + 2a$$ Las condiciones que nos da el enunciado son: 1. Punto de inflexión en $x = 1 \implies f''(1) = 0$. 2. Mínimo relativo en $x = 2 \implies f'(2) = 0$. 3. El valor del mínimo en $x = 2$ es $-9 \implies f(2) = -9$. 💡 **Tip:** Recuerda que si una función es derivable, los extremos relativos anulan la primera derivada y los puntos de inflexión anulan la segunda derivada (siempre que haya cambio de curvatura).

Sabemos que existe un punto de inflexión en $x = 1$. Por tanto, la segunda derivada evaluada en ese punto debe ser igual a cero: $$f''(1) = 0$$ Sustituimos $x = 1$ en $f''(x) = 6x + 2a$: $$6(1) + 2a = 0 \implies 6 + 2a = 0$$ Despejamos $a$: $$2a = -6 \implies a = -\frac{6}{2} = -3$$ Podemos verificar el cambio de signo de $f''(x) = 6x - 6$ para asegurar que es un punto de inflexión: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,1) & 1 & (1,+\infty)\\ \hline f''(x) & - & 0 & + \end{array} $$ Como cambia de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba, hay un punto de inflexión en $x=1$. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{a = -3}$$

Se nos indica que hay un mínimo relativo en $x = 2$. Esto implica que la primera derivada en ese punto es cero: $$f'(2) = 0$$ Utilizando el valor de $a = -3$ hallado anteriormente, la primera derivada es: $$f'(x) = 3x^2 + 2(-3)x + b = 3x^2 - 6x + b$$ Sustituimos $x = 2$: $$f'(2) = 3(2)^2 - 6(2) + b = 0$$ $$3(4) - 12 + b = 0 \implies 12 - 12 + b = 0$$ De donde obtenemos: $$b = 0$$ ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{b = 0}$$

Finalmente, sabemos que el valor del mínimo relativo en $x = 2$ es $-9$. Esto significa que el punto $(2, -9)$ pertenece a la gráfica de la función: $$f(2) = -9$$ Con los valores $a = -3$ y $b = 0$, la función es $f(x) = x^3 - 3x^2 + c$. Sustituimos el punto: $$(2)^3 - 3(2)^2 + c = -9$$ $$8 - 3(4) + c = -9$$ $$8 - 12 + c = -9 \implies -4 + c = -9$$ Despejamos $c$: $$c = -9 + 4 = -5$$ ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{c = -5}$$

Hemos determinado los tres parámetros solicitados aplicando las condiciones de derivabilidad y el valor de la función en el punto dado. Los valores calculados son: - **$a = -3$** (determinado por la curvatura en $x=1$) - **$b = 0$** (determinado por el extremo en $x=2$) - **$c = -5$** (determinado por la ordenada en $x=2$) La función resultante es $f(x) = x^3 - 3x^2 - 5$. ✅ **Solución final:** $$\boxed{a = -3, \quad b = 0, \quad c = -5}$$