Distancia entre dos rectas paralelas

Para calcular la distancia entre dos rectas en el espacio, lo primero es obtener un punto y un vector director de cada una. La recta $r \equiv x = y = z$ está dada en forma continua (aunque sin denominadores explícitos, se sobreentiende que son 1): - Punto de $r$: $P_r(0, 0, 0)$ - Vector director de $r$: $\vec{v_r} = (1, 1, 1)$ La recta $s \equiv x - 1 = y - 2 = z - 3$ también está en forma continua: - Punto de $s$: $P_s(1, 2, 3)$ - Vector director de $s$: $\vec{v_s} = (1, 1, 1)$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación continua de la recta $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(v_1, v_2, v_3)$.

Observamos que los vectores directores son iguales: $\vec{v_r} = \vec{v_s} = (1, 1, 1)$. Esto implica que las rectas son **paralelas o coincidentes**. Para comprobar si son coincidentes, verificamos si el punto $P_s(1, 2, 3)$ pertenece a la recta $r$: En $r$: $x=y=z \implies 1 = 2 = 3$, lo cual es **falso**. Por tanto, las rectas son **paralelas estrictas**. En este caso, la distancia entre las rectas es igual a la distancia de un punto cualquiera de una de ellas a la otra recta: $$d(r, s) = d(P_s, r)$$ 💡 **Tip:** Si los vectores directores son proporcionales, las rectas son paralelas. Si además comparten un punto, son la misma recta (distancia cero).

Utilizaremos la fórmula de la distancia de un punto a una recta basada en el producto vectorial. Definimos el vector que une un punto de $r$ con un punto de $s$: $$\vec{P_r P_s} = (1 - 0, 2 - 0, 3 - 0) = (1, 2, 3)$$ La fórmula que aplicaremos es: $$d(P_s, r) = \frac{|\vec{v_r} \times \vec{P_r P_s}|}{|\vec{v_r}|}$$ Donde $\vec{v_r} \times \vec{P_r P_s}$ es el producto vectorial de ambos vectores.

Calculamos el producto vectorial $\vec{v_r} \times \vec{P_r P_s}$ mediante el determinante: $$\vec{v_r} \times \vec{P_r P_s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus o desarrollo por la primera fila: $$\vec{v_r} \times \vec{P_r P_s} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v_r} \times \vec{P_r P_s} = (3 - 2)\mathbf{i} - (3 - 1)\mathbf{j} + (2 - 1)\mathbf{k} = \mathbf{i} - 2\mathbf{j} + \mathbf{k}$$ El vector resultante es **$(1, -2, 1)$**.

Calculamos el módulo del producto vectorial: $$|\vec{v_r} \times \vec{P_r P_s}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$$ Calculamos el módulo del vector director de la recta $r$: $$|\vec{v_r}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$$ Finalmente, aplicamos la fórmula de la distancia: $$d(r, s) = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{6}{3}} = \sqrt{2}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{d(r, s) = \sqrt{2} \text{ unidades}}$$