Inversa de una matriz, ecuaciones matriciales y determinantes

**a) [0’75 puntos] Halla $A^{-1}$.** Para que una matriz sea invertible, su determinante debe ser distinto de cero. Calculamos $|A|$ desarrollando por la segunda fila (ya que tiene dos ceros): $$|A| = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (-1)^{2+1} \cdot 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -2 \cdot (1) = -2.$$ Como $|A| = -2 \neq 0$, existe la matriz inversa $A^{-1}$. 💡 **Tip:** El desarrollo por una fila o columna con muchos ceros simplifica enormemente el cálculo del determinante. También puedes usar la regla de Sarrus: $(-1\cdot 0 \cdot 1) + (1\cdot 0 \cdot 1) + (0\cdot 2 \cdot 0) - (0\cdot 0 \cdot 1) - (1\cdot 2 \cdot 1) - (-1\cdot 0 \cdot 0) = -2.$

Calculamos la matriz de los adjuntos de $A$, $Adj(A)$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -2$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -2$ La matriz adjunta es $Adj(A) = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$. La traspuesta de la adjunta es $(Adj(A))^t = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}$. Finalmente, $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (Adj(A))^t$: $$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 & 0 \\ 1 & 1/2 & 0 \\ 0 & -1/2 & 1 \end{pmatrix}.$$ ✅ **Resultado (Inversa):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 & 0 \\ 1 & 1/2 & 0 \\ 0 & -1/2 & 1 \end{pmatrix}}$$

**b) [1’25 puntos] Calcula la matriz $X$ que satisface $AX = B^tC$.** Para despejar $X$ en la ecuación $AX = B^tC$, multiplicamos por $A^{-1}$ por la izquierda en ambos miembros: $$A^{-1}(AX) = A^{-1}(B^tC)$$ $$(A^{-1}A)X = A^{-1}B^tC$$ $$I \cdot X = A^{-1}B^tC \implies X = A^{-1}B^tC.$$ Calculamos primero el producto $B^tC$. La matriz $B$ es de dimensión $2 \times 3$, por lo que $B^t$ es $3 \times 2$. Como $C$ es $2 \times 2$, el producto es posible y resultará una matriz $3 \times 2$. $$B^t = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ $$B^tC = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0(1)+1(-1) & 0(2)+1(6) \\ 2(1)+2(-1) & 2(2)+2(6) \\ 1(1)+0(-1) & 1(2)+0(6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 6 \\ 0 & 16 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto de matrices no es conmutativo. Es fundamental multiplicar por $A^{-1}$ por la **izquierda** porque $A$ está a la izquierda de $X$.

Ahora calculamos $X = A^{-1} (B^tC)$: $$X = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 & 0 \\ 1 & 1/2 & 0 \\ 0 & -1/2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 6 \\ 0 & 16 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 0(-1)+\frac{1}{2}(0)+0(1) & 0(6)+\frac{1}{2}(16)+0(2) \\ 1(-1)+\frac{1}{2}(0)+0(1) & 1(6)+\frac{1}{2}(16)+0(2) \\ 0(-1)-\frac{1}{2}(0)+1(1) & 0(6)-\frac{1}{2}(16)+1(2) \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 0 & 8 \\ -1 & 6+8 \\ 1 & -8+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 8 \\ -1 & 14 \\ 1 & -6 \end{pmatrix}.$$ ✅ **Resultado (Matriz X):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0 & 8 \\ -1 & 14 \\ 1 & -6 \end{pmatrix}}$$

**c) [0’5 puntos] Halla el determinante de $A^{2013}B^tB(A^{-1})^{2013}$.** Utilizamos las propiedades de los determinantes: 1. $|M \cdot N| = |M| \cdot |N|$ 2. $|M^k| = |M|^k$ 3. $|M^{-1}| = \frac{1}{|M|}$ Llamamos $D$ al determinante solicitado: $$D = |A^{2013} \cdot B^tB \cdot (A^{-1})^{2013}| = |A|^{2013} \cdot |B^tB| \cdot |A^{-1}|^{2013}$$ Como $|A^{-1}|^{2013} = \left(\frac{1}{|A|}\right)^{2013}$, observamos que: $$|A|^{2013} \cdot \frac{1}{|A|^{2013}} = 1.$$ Por lo tanto, el cálculo se simplifica a: $$D = |B^tB|.$$ 💡 **Tip:** No intentes calcular potencias de matrices como $A^{2013}$ a menos que sea estrictamente necesario. Las propiedades de los determinantes están para simplificar estas expresiones.

Calculamos la matriz $B^tB$: $$B^tB = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 8 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}.$$ Ahora calculamos su determinante mediante la regla de Sarrus: $$|B^tB| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 8 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 8 \cdot 1) + (2 \cdot 2 \cdot 0) + (0 \cdot 2 \cdot 2) - (0 \cdot 8 \cdot 0) - (2 \cdot 2 \cdot 1) - (1 \cdot 2 \cdot 2)$$ $$|B^tB| = 8 + 0 + 0 - 0 - 4 - 4 = 0.$$ Como $|B^tB| = 0$, el determinante total es $0$. ✅ **Resultado (Determinante):** $$\boxed{0}$$