Cálculo de parámetros de una función cúbica

Para resolver el ejercicio, primero identificamos la función y calculamos sus derivadas sucesivas, ya que las condiciones del enunciado implican el uso de la primera y segunda derivada. La función es: $$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$ Sus derivadas son: - Primera derivada (para estudiar extremos relativos): $$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$$ - Segunda derivada (para estudiar puntos de inflexión): $$f''(x) = 6ax + 2b$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una función tiene un extremo relativo en $x=x_0$, entonces $f'(x_0)=0$. Si tiene un punto de inflexión en $x=x_1$, entonces $f''(x_1)=0$.

El enunciado indica que la gráfica tiene un punto de inflexión en $(0, 0)$. Esto nos aporta dos datos fundamentales: 1. **El punto pertenece a la gráfica:** $f(0) = 0$. $$a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d = 0 \implies \mathbf{d = 0}$$ 2. **Es un punto de inflexión:** La segunda derivada en $x = 0$ debe ser cero ($f''(0) = 0$). $$f''(0) = 6a(0) + 2b = 0 \implies 2b = 0 \implies \mathbf{b = 0}$$ Tras aplicar estas condiciones, la función se simplifica a: $$f(x) = ax^3 + cx$$

Se sabe que $f(x)$ alcanza un máximo relativo en $x = 1$. Por tanto, la primera derivada en ese punto debe ser nula: $$f'(1) = 0$$ Utilizamos la expresión de la primera derivada con $b=0$: $$f'(x) = 3ax^2 + c$$ $$f'(1) = 3a(1)^2 + c = 0 \implies 3a + c = 0 \implies \mathbf{c = -3a}$$ Ahora la función depende de un solo parámetro $a$: $$f(x) = ax^3 - 3ax$$

La última condición es que $\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{5}{4}$. Sustituimos la expresión de $f(x)$ obtenida: $$\int_{0}^{1} (ax^3 - 3ax) dx = \frac{5}{4}$$ Calculamos la integral paso a paso aplicando la regla de Barrow: $$\left[ a\frac{x^4}{4} - 3a\frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{5}{4}$$ Evaluamos en los límites: $$\left( \frac{a(1)^4}{4} - \frac{3a(1)^2}{2} \right) - (0) = \frac{5}{4}$$ $$\frac{a}{4} - \frac{3a}{2} = \frac{5}{4}$$ Para operar, ponemos común denominador $4$: $$\frac{a - 6a}{4} = \frac{5}{4} \implies -5a = 5 \implies \mathbf{a = -1}$$ 💡 **Tip:** En integrales definidas, siempre verifica que has aplicado correctamente los límites de integración: $F(b) - F(a)$.

Una vez hallado $a = -1$, calculamos el valor de $c$ usando la relación obtenida anteriormente: $$c = -3a = -3(-1) = 3$$ Los valores de los parámetros son: - $a = -1$ - $b = 0$ - $c = 3$ - $d = 0$ La función resultante es $f(x) = -x^3 + 3x$. **Comprobación del máximo:** Como $f''(x) = -6x$, entonces $f''(1) = -6 \lt 0$, lo cual confirma que en $x=1$ existe efectivamente un **máximo relativo**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = -1, \; b = 0, \; c = 3, \; d = 0}$$