Cálculo de parámetros por asíntotas y estudio de simetría

**a) [1’75 puntos] Halla $m$ y $n$ sabiendo que la recta $y = 2x - 4$ es una asíntota de la gráfica de $g$.** La recta dada $y = 2x - 4$ es una recta de la forma $y = ax + b$, lo que indica que es una **asíntota oblicua**. Para una función racional $g(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, la asíntota oblicua $y = ax + b$ se calcula mediante los límites: 1. $a = \lim_{x \to \infty} \frac{g(x)}{x}$ 2. $b = \lim_{x \to \infty} (g(x) - ax)$ En este caso, de la recta $y = 2x - 4$ sabemos que $a = 2$ y $b = -4$. Calculamos el primer límite para hallar $m$: $$a = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{mx^3}{(x - n)^2}}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{mx^3}{x(x - n)^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{mx^3}{x(x^2 - 2nx + n^2)} = \lim_{x \to \infty} \frac{mx^3}{x^3 - 2nx^2 + n^2x}$$ Al ser un límite al infinito de un cociente de polinomios del mismo grado, el resultado es el cociente de los coeficientes principales: $$a = \frac{m}{1} = m$$ Como sabemos que $a = 2$, obtenemos directamente: $$\boxed{m = 2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el grado del numerador es exactamente una unidad mayor que el del denominador, la función tiene una asíntota oblicua.

Ahora utilizamos el valor de la ordenada en el origen de la asíntota ($b = -4$) y el valor de $m=2$ ya hallado. $$b = \lim_{x \to \infty} (g(x) - 2x) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{2x^3}{(x - n)^2} - 2x \right)$$ Operamos para obtener una sola fracción: $$b = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - 2x(x - n)^2}{(x - n)^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - 2x(x^2 - 2nx + n^2)}{x^2 - 2nx + n^2}$$ $$b = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - 2x^3 + 4nx^2 - 2n^2x}{x^2 - 2nx + n^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{4nx^2 - 2n^2x}{x^2 - 2nx + n^2}$$ Nuevamente, comparamos los coeficientes de los términos de mayor grado ($x^2$): $$b = \frac{4n}{1} = 4n$$ Igualamos al valor conocido $b = -4$: $$4n = -4 \implies n = \frac{-4}{4} = -1$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{m = 2, \quad n = -1}$$

**b) [0’75 puntos] Determina si la gráfica de $g$ es simétrica respecto al origen.** Una función es simétrica respecto al origen (es una función impar) si se cumple que: $$g(-x) = -g(x)$$ Sustituimos los valores hallados $m = 2$ y $n = -1$ en la función original: $$g(x) = \frac{2x^3}{(x - (-1))^2} = \frac{2x^3}{(x + 1)^2}$$ Calculamos $g(-x)$: $$g(-x) = \frac{2(-x)^3}{(-x + 1)^2} = \frac{-2x^3}{(1 - x)^2}$$ Calculamos $-g(x)$: $$-g(x) = -\frac{2x^3}{(x + 1)^2} = \frac{-2x^3}{(x + 1)^2}$$ Comparamos ambos resultados: Para que $g(-x) = -g(x)$, debería cumplirse que $(1 - x)^2 = (x + 1)^2$ para todo $x$ del dominio, lo cual es falso (por ejemplo, para $x = 1$, el primer denominador es $0$ y el segundo es $4$). Por tanto, $g(-x) \neq -g(x)$. 💡 **Tip:** Una función racional es impar (simétrica respecto al origen) si al cambiar $x$ por $-x$, el numerador cambia de signo y el denominador no, o viceversa. En este caso, el denominador $(x+1)^2$ no tiene una simetría clara que compense al numerador. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{La gráfica de } g \text{ no es simétrica respecto al origen.}}$$