Geometría en el espacio: Ecuación del plano y simetría de un punto

**a) [1 punto] Halla la ecuación del plano que contiene a $A, B$ y $C$.** Para hallar la ecuación de un plano, necesitamos un punto y dos vectores directores que pertenezcan al mismo. Utilizaremos el punto $A(1, 0, 2)$ y los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$. Calculamos los vectores: $$\vec{AB} = B - A = (-1 - 1, 3 - 0, 1 - 2) = (-2, 3, -1)$$ $$\vec{AC} = C - A = (2 - 1, 1 - 0, 2 - 2) = (1, 1, 0)$$ 💡 **Tip:** Un plano queda determinado unívocamente por tres puntos no alineados. Es importante verificar que los vectores no sean proporcionales.

El vector normal $\vec{n}$ del plano se obtiene mediante el producto vectorial de sus vectores directores: $$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por la regla de Sarrus o desarrollo por una fila: $$\vec{n} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n} = (0 - (-1))\mathbf{i} - (0 - (-1))\mathbf{j} + (-2 - 3)\mathbf{k} = (1, -1, -5)$$ El vector normal es $\vec{n} = (1, -1, -5)$.

Con el vector normal $(A, B, C) = (1, -1, -5)$ y el punto $A(1, 0, 2)$, la ecuación del plano $\pi$ es: $$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$ $$1(x - 1) - 1(y - 0) - 5(z - 2) = 0$$ $$x - 1 - y - 5z + 10 = 0$$ $$x - y - 5z + 9 = 0$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{x - y - 5z + 9 = 0}$$

**b) [1’5 puntos] Halla el punto simétrico de $D$ respecto del plano $x - y - 5z + 9 = 0$.** Para hallar el simétrico $D'$ de un punto $D(1, 0, 4)$ respecto a un plano $\pi$, seguimos estos pasos: 1. Hallar la recta $r$ perpendicular a $\pi$ que pasa por $D$. 2. Hallar el punto de intersección $M$ de la recta $r$ con el plano $\pi$ (este será el punto medio del segmento $DD'$). 3. Calcular $D'$ sabiendo que $M = \frac{D + D'}{2}$. La recta $r$ tiene como vector director el vector normal del plano $\vec{n} = (1, -1, -5)$ y pasa por $D(1, 0, 4)$. Sus ecuaciones paramétricas son: $$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = -\lambda \\ z = 4 - 5\lambda \end{cases}$$

Sustituimos las expresiones de $x, y, z$ de la recta en la ecuación del plano $\pi: x - y - 5z + 9 = 0$: $$(1 + \lambda) - (-\lambda) - 5(4 - 5\lambda) + 9 = 0$$ $$1 + \lambda + \lambda - 20 + 25\lambda + 9 = 0$$ $$27\lambda - 10 = 0 \implies \lambda = \frac{10}{27}$$ Calculamos las coordenadas de $M$ sustituyendo $\lambda$ en la recta $r$: $$x_M = 1 + \frac{10}{27} = \frac{37}{27}$$ $$y_M = -\frac{10}{27}$$ $$z_M = 4 - 5\left(\frac{10}{27}\right) = 4 - \frac{50}{27} = \frac{108 - 50}{27} = \frac{58}{27}$$ $$M\left(\frac{37}{27}, -\frac{10}{27}, \frac{58}{27}\right)$$

Puesto que $M$ es el punto medio entre $D$ y $D'$, se cumple: $$M = \frac{D + D'}{2} \implies D' = 2M - D$$ Calculamos componente a componente: $$x' = 2\left(\frac{37}{27}\right) - 1 = \frac{74}{27} - \frac{27}{27} = \frac{47}{27}$$ $$y' = 2\left(-\frac{10}{27}\right) - 0 = -\frac{20}{27}$$ $$z' = 2\left(\frac{58}{27}\right) - 4 = \frac{116}{27} - \frac{108}{27} = \frac{8}{27}$$ 💡 **Tip:** No olvides que el punto simétrico es aquel que está a la misma distancia del plano que el original, pero en el lado opuesto y sobre la misma recta perpendicular. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{D'\left(\frac{47}{27}, -\frac{20}{27}, \frac{8}{27}\right)}$$