Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) [1’75 puntos] Discute el sistema según los valores del parámetro $m$.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 2 & -4 & 6 \\ 0 & m & 2 \\ -3 & 6 & -3m \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -4 & 6 & 6 \\ 0 & m & 2 & m+1 \\ -3 & 6 & -3m & -9 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**, que relaciona el rango de estas matrices con el número de soluciones. 💡 **Tip:** Recuerda que un sistema es compatible determinado si $rg(A) = rg(A^*) = n$, compatible indeterminado si $rg(A) = rg(A^*) < n$, e incompatible si $rg(A) \neq rg(A^*)$, donde $n$ es el número de incógnitas.

Calculamos el determinante de $A$ para ver cuándo su rango es máximo (3): $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & -4 & 6 \\ 0 & m & 2 \\ -3 & 6 & -3m \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$|A| = [2 \cdot m \cdot (-3m) + (-4) \cdot 2 \cdot (-3) + 6 \cdot 0 \cdot 6] - [(-3) \cdot m \cdot 6 + 6 \cdot 2 \cdot 2 + (-3m) \cdot 0 \cdot (-4)]$$ $$|A| = [-6m^2 + 24 + 0] - [-18m + 24 + 0]$$ $$|A| = -6m^2 + 24 + 18m - 24 = -6m^2 + 18m$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $m$: $$-6m^2 + 18m = 0 \implies 6m(-m + 3) = 0$$ Obtenemos dos soluciones: $$\boxed{m = 0, \quad m = 3}$$

Analizamos los tres casos posibles según los valores de $m$: **Caso 1: $m \neq 0$ y $m \neq 3$** Si $m$ no es ninguno de esos valores, $|A| \neq 0$. Por tanto, $rg(A) = 3$. Como el rango de la ampliada no puede ser mayor que 3 y contiene a $A$, $rg(A^*) = 3$. Al ser $rg(A) = rg(A^*) = 3$ (número de incógnitas), por el Teorema de Rouché-Frobenius el sistema es **Compatible Determinado** (solución única). **Caso 2: $m = 0$** La matriz ampliada queda: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -4 & 6 & 6 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ -3 & 6 & 0 & -9 \end{array}\right)$$ Como $|A|=0$, $rg(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $\begin{vmatrix} -4 & 6 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -8 \neq 0$, luego $rg(A) = 2$. Ahora calculamos el rango de $A^*$ usando el menor formado por las columnas 2, 3 y 4: $$\begin{vmatrix} -4 & 6 & 6 \\ 0 & 2 & 1 \\ 6 & 0 & -9 \end{vmatrix} = (-4)(-18) + 6(-12) - (6 \cdot 2 \cdot 6) = 72 - 72 - 72 = -72 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo, $rg(A^*) = 3$. Al ser $rg(A) \neq rg(A^*)$, el sistema es **Incompatible**. **Caso 3: $m = 3$** La matriz ampliada queda: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -4 & 6 & 6 \\ 0 & 3 & 2 & 4 \\ -3 & 6 & -9 & -9 \end{array}\right)$$ Observamos que la fila 3 es proporcional a la fila 1 ($F_3 = -1.5 F_1$). Esto significa que el rango de $A$ y $A^*$ será el mismo. Como el menor $\begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 6 \neq 0$, tenemos que $rg(A) = rg(A^*) = 2$. Como el rango es menor que el número de incógnitas (3), el sistema es **Compatible Indeterminado** (infinitas soluciones).

**b) [0’75 puntos] Resuélvelo para $m = 3$. Para dicho valor de $m$, calcula, si es posible, una solución en la que $y = 0$.** Como hemos visto, para $m = 3$ el sistema es compatible indeterminado y la tercera ecuación es redundante ($F_3 = -1.5 F_1$). El sistema es equivalente a: $$\begin{cases} 2x - 4y + 6z = 6 \\ 3y + 2z = 4 \end{cases}$$ Simplificamos la primera ecuación dividiendo por 2: $$\begin{cases} x - 2y + 3z = 3 \\ 3y + 2z = 4 \end{cases}$$ Resolvemos en función de un parámetro, por ejemplo $z = \lambda$: De la segunda ecuación: $3y = 4 - 2\lambda \implies y = \frac{4-2\lambda}{3}$. Sustituimos en la primera: $x = 3 + 2y - 3z = 3 + 2\left(\frac{4-2\lambda}{3}\right) - 3\lambda = \frac{9 + 8 - 4\lambda - 9\lambda}{3} = \frac{17 - 13\lambda}{3}$. La solución general es: $$\boxed{(x, y, z) = \left( \frac{17 - 13\lambda}{3}, \frac{4 - 2\lambda}{3}, \lambda \right)}$$

Buscamos ahora la solución particular donde $y = 0$. Utilizamos la segunda ecuación del sistema simplificado: $$3y + 2z = 4 \implies 3(0) + 2z = 4 \implies 2z = 4 \implies z = 2$$ Sustituimos $y = 0$ y $z = 2$ en la primera ecuación: $$x - 2y + 3z = 3 \implies x - 2(0) + 3(2) = 3$$ $$x + 6 = 3 \implies x = -3$$ Por tanto, la solución solicitada es: $$\boxed{(x, y, z) = (-3, 0, 2)}$$