Recta normal y área entre una parábola y una recta

**a) [0’75 puntos] Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de $g$ en el punto de abscisa $x = 4$.** Para hallar la recta normal, primero necesitamos conocer el punto de tangencia $(x_0, g(x_0))$. Como nos dan $x_0 = 4$, calculamos su imagen: $$g(4) = -(4)^2 + 6(4) - 5 = -16 + 24 - 5 = 3$$ El punto por el que pasan tanto la recta tangente como la normal es el **$(4, 3)$**. 💡 **Tip:** Recuerda que la recta normal es perpendicular a la recta tangente en el punto de contacto.

La pendiente de la recta tangente $m_t$ en $x = 4$ es la derivada de la función en ese punto, $g'(4)$. Calculamos la derivada de $g(x) = -x^2 + 6x - 5$: $$g'(x) = -2x + 6$$ Sustituimos $x = 4$ para hallar la pendiente de la tangente: $$m_t = g'(4) = -2(4) + 6 = -8 + 6 = -2$$ Como la recta normal es perpendicular a la tangente, su pendiente $m_n$ cumple que $m_n \cdot m_t = -1$, es decir: $$m_n = -\frac{1}{g'(4)} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$$ $$\boxed{m_n = \frac{1}{2}}$$

Utilizamos la fórmula punto-pendiente para la recta normal: $y - y_0 = m_n(x - x_0)$ con el punto $(4, 3)$ y $m_n = \frac{1}{2}$: $$y - 3 = \frac{1}{2}(x - 4)$$ Despejamos la $y$ para obtener la ecuación explícita: $$y = \frac{1}{2}x - 2 + 3 \implies y = \frac{1}{2}x + 1$$ También podemos expresarla en forma general (implicita): $$2y = x + 2 \implies x - 2y + 2 = 0$$ ✅ **Resultado (Ecuación de la normal):** $$\boxed{y = \frac{1}{2}x + 1 \quad \text{o} \quad x - 2y + 2 = 0}$$

**b) [1’75 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de $g$ y la recta $x - 2y + 2 = 0$. Calcula el área de este recinto.** Primero identificamos la recta dada: $x - 2y + 2 = 0 \implies y = \frac{1}{2}x + 1$. Casualmente, es la misma recta normal calculada en el apartado anterior. Para hallar el recinto, buscamos los puntos de corte entre $g(x) = -x^2 + 6x - 5$ y la recta $r(x) = \frac{1}{2}x + 1$: $$-x^2 + 6x - 5 = \frac{1}{2}x + 1$$ Multiplicamos toda la ecuación por $2$ para eliminar el denominador: $$-2x^2 + 12x - 10 = x + 2 \implies -2x^2 + 11x - 12 = 0$$ Multiplicamos por $-1$ y resolvemos la ecuación de segundo grado $2x^2 - 11x + 12 = 0$: $$x = \frac{11 \pm \sqrt{(-11)^2 - 4(2)(12)}}{2(2)} = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 96}}{4} = \frac{11 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{11 \pm 5}{4}$$ Las soluciones son: - $x_1 = \frac{11 + 5}{4} = 4$ - $x_2 = \frac{11 - 5}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$ (o $\frac{3}{2}$) Los puntos de corte son **$x = 1.5$** y **$x = 4$**.

La función $g(x) = -x^2 + 6x - 5$ es una parábola con las ramas hacia abajo. En el intervalo $[1.5, 4]$, la parábola está por encima de la recta. El área $A$ es la integral definida de la diferencia entre la función superior y la inferior: $$A = \int_{1.5}^{4} \left[ (-x^2 + 6x - 5) - \left( \frac{1}{2}x + 1 \right) \right] dx$$ $$A = \int_{1.5}^{4} \left( -x^2 + \frac{11}{2}x - 6 \right) dx$$ Visualización del recinto: "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "g", "latex": "g(x) = -x^2 + 6x - 5", "color": "#2563eb" }, { "id": "r", "latex": "y = 0.5x + 1", "color": "#ef4444" }, { "id": "area", "latex": "0.5x + 1 \\le y \\le -x^2 + 6x - 5 \\left\{ 1.5 \\le x \\le 4 \\right\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": 0, "right": 6, "bottom": -2, "top": 5 } } }

Calculamos la primitiva y aplicamos la regla de Barrow: $$A = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{11x^2}{4} - 6x \right]_{1.5}^{4}$$ Evaluamos en el límite superior ($x=4$): $$F(4) = -\frac{4^3}{3} + \frac{11(4^2)}{4} - 6(4) = -\frac{64}{3} + 44 - 24 = -\frac{64}{3} + 20 = \frac{-64+60}{3} = -\frac{4}{3}$$ Evaluamos en el límite inferior ($x=1.5 = 3/2$): $$F(1.5) = -\frac{(3/2)^3}{3} + \frac{11(3/2)^2}{4} - 6(3/2) = -\frac{27/8}{3} + \frac{99/4}{4} - 9 = -\frac{9}{8} + \frac{99}{16} - 9$$ $$F(1.5) = \frac{-18 + 99 - 144}{16} = -\frac{63}{16}$$ Finalmente: $$A = F(4) - F(1.5) = -\frac{4}{3} - \left( -\frac{63}{16} \right) = -\frac{4}{3} + \frac{63}{16} = \frac{-64 + 189}{48} = \frac{125}{48}$$ ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{A = \frac{125}{48} \approx 2.604 \text{ unidades}^2}$$