Estudio de monotonía, extremos y asíntotas de una función logarítmica

**a) [1’75 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).** Para estudiar la monotonía y los extremos relativos, primero calculamos la derivada de la función $f(x) = \frac{2 \ln(x)}{x^2}$ utilizando la regla del cociente. $$f'(x) = \frac{(2 \ln(x))' \cdot x^2 - (2 \ln(x)) \cdot (x^2)'}{(x^2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{\frac{2}{x} \cdot x^2 - 2 \ln(x) \cdot 2x}{x^4}$$ $$f'(x) = \frac{2x - 4x \ln(x)}{x^4}$$ Podemos simplificar dividiendo numerador y denominador por $x$ (ya que $x \in (0, +\infty)$): $$f'(x) = \frac{2(1 - 2 \ln(x))}{x^3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla del cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. En este caso, $u = 2\ln(x)$ y $v = x^2$. $$\boxed{f'(x) = \frac{2 - 4 \ln(x)}{x^3}}$$

Los puntos críticos se encuentran donde la derivada es igual a cero: $$f'(x) = 0 \implies 2 - 4 \ln(x) = 0$$ $$4 \ln(x) = 2 \implies \ln(x) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ Para despejar $x$, aplicamos la función exponencial a ambos lados: $$x = e^{1/2} = \sqrt{e}$$ Como el dominio de la función es $(0, +\infty)$, evaluamos el signo de la derivada a ambos lados de $\sqrt{e} \approx 1.649$. 💡 **Tip:** Un punto crítico es un candidato a extremo relativo. Para confirmar si es máximo o mínimo, estudiaremos el signo de $f'(x)$ en los intervalos resultantes.

Analizamos el signo de $f'(x) = \frac{2(1 - 2 \ln(x))}{x^3}$. Nótese que el denominador $x^3$ es siempre positivo en el dominio $(0, +\infty)$, por lo que el signo depende exclusivamente del numerador $1 - 2 \ln(x)$. $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, \sqrt{e}) & \sqrt{e} & (\sqrt{e}, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ - En $(0, \sqrt{e})$, tomamos $x=1$: $f'(1) = \frac{2(1-0)}{1^3} = 2 \gt 0$, luego la función es **creciente**. - En $(\sqrt{e}, +\infty)$, tomamos $x=e$: $f'(e) = \frac{2(1-2)}{e^3} = -\frac{2}{e^3} \lt 0$, luego la función es **decreciente**. ✅ **Intervalos:** $$\boxed{\text{Crecimiento: } (0, \sqrt{e}) \quad \text{Decrecimiento: } (\sqrt{e}, +\infty)}$$

Dado que la función pasa de crecer a decrecer en $x = \sqrt{e}$, existe un **máximo relativo** en ese punto. Para hallar el valor que alcanza el máximo, calculamos $f(\sqrt{e})$: $$f(\sqrt{e}) = \frac{2 \ln(\sqrt{e})}{(\sqrt{e})^2} = \frac{2 \ln(e^{1/2})}{e} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{e} = \frac{1}{e}$$ ✅ **Extremo relativo:** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } \left(\sqrt{e}, \frac{1}{e}\right)}$$

**b) [0’75 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de $f$.** Las asíntotas verticales suelen encontrarse en los puntos de discontinuidad o en los extremos del dominio abierto. Evaluamos el límite cuando $x \to 0^+$: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{2 \ln(x)}{x^2} = \frac{2 \cdot (-\infty)}{0^+} = -\infty$$ Al ser el límite infinito, existe una asíntota vertical. ✅ **Asíntota vertical:** $$\boxed{x = 0}$$ 💡 **Tip:** Cuando un límite lateral en $x=c$ resulta $\pm\infty$, la recta $x=c$ es una asíntota vertical.

Para buscar asíntotas horizontales, calculamos el límite cuando $x \to +\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{2 \ln(x)}{x^2} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$$ Aplicamos la **regla de L'Hôpital** derivando numerador y denominador independientemente: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{2 \ln(x)}{x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{2}{x}}{2x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{2x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^2} = 0$$ Como el límite es un número finito, existe una asíntota horizontal. Al existir asíntota horizontal hacia $+\infty$, descartamos la existencia de asíntotas oblicuas en esa dirección. ✅ **Asíntota horizontal:** $$\boxed{y = 0 \text{ cuando } x \to +\infty}$$ 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital permite resolver indeterminaciones del tipo $\frac{\infty}{\infty}$ o $\frac{0}{0}$ derivando numerador y denominador por separado.